03级高数A(上)期终卷B修改稿解答

浙江科技学院考试试卷

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2003-2004学年第一学期《高等数学A 》考试试卷B 卷参考答案与评分标准

2004年2月 日

一、填空题(每小题4分，共28分):

1、1- ；

2、x y y

x ---2233 ； 3、C x f +)(； 4、0 ；

5、21 ；

6、 481 ；

7、12+=x C y

二．计算题(每小题7分，共56分)：

1、解：原式x x x x 231lim +

=+∞→ …………………………………4分

3211lim 322=+=+∞→x

x …………………………………7分 2、解： 2=x 及3=x 是)(x f 的间断点， …………………………………3分 因∞=---+=→→)

3)(2()3)(3(lim )(lim 22x x x x x f x x ，故2=x 是)(x f 的第二类(无穷)间断点，……5分 因6)3)(2()3)(3(lim )(lim 33

=---+=→→x x x x x f x x ，故3=x 是)(x f 的第一类(可去)间断点 ………7分 3、解：由已知得所求直线的斜率为3-=k ， …………………………2分

又因所求直线与x y -=e 相切，故x y k --='=e ， …………………………4分

解3e -=--x ，得切点坐标为3,3ln =-=y x ， …………………………6分

故所求直线方程为)3ln (33+-=-x y . …………………………7分

4、解：2222)1()

1(2,12+-=''+='x x y x x

y ，

令0=''y ，得1±=x 　 ， …………………………3分

当011;011>''<<-<''>-<y x y x x 时，当时，或 ； …………………………5分 故曲线的拐点为)2ln ,1(±，凹区间为)1,1(-，凸区间为),1()1,(+∞--∞ …………………7分

浙江科技学院考试试卷

第 2 页 共 3 页 5、解：⎰⎰-=)1(d ln d ln 2x

x x x x

……………………… 3分 ⎰+-=x x

x x ln d 1ln ………………………… 5分 ⎰+-=x x

x x d 1ln 2C x x x +--=1ln …………………… 7分

6、解：原式⎰⎰+⋅=20

202d sin d cos sin ππx x x x x ……………………… 2分 2020

3)cos (sin 31ππ

x x -+= ……………………… 5分 34=

……………………… 7分

7、解：设,d 2d ,1t t x t x -==-　

当0=x 时，1=t ；当4/3=x 时,2/1=t ；……………………… 2分 原式⎰-=2/112d )1(2t t ……………………… 5分

2/11

3)3(2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=t t 12

5= ……………………… 7分

8、解：特征方程为i r r ±=⇒=+012, ……………2分

令特解为A y =*，代入得1=A ， ……………4分

故通解为1cos sin 21++=x C x C y ……………7分

三．应用题(本题9分):

解：半径为R 的球体可看作是xOy

面上的圆线y R x R =

-≤≤绕x 轴 旋转一周而成的旋转体； ……………… 4分

故22()d R

R V R x x π-=-⎰ ……………… 7分

343

R π= ……………… 9分

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四、证明题(本题7分):

证

先证存在性：

0)(1d )(1)1(,1)0(]

1,0[10>-=====-=-=∈∃⎰ξξf t t f F F ， ………… 2分 )(x F 在闭区间[]1,0上连续且0)1()0(<F F ，故0)(=x F 在)1,0(内至少有一根；………4分 再证惟一性：

]1,0[∈x 时，0)(2)(>-='x f x F ，所以)(x F 在[]1,0上严格单调增加，………… 6分 故0)(=x F 在)1,0(内有且仅有一根 …………………… 7分