有限元与数值方法-讲稿1

有限元与数值方法第一讲授课教师：刘书田Tel:84706149; Email:stliu@ 教室：综合教学楼 351

时间：2013年3月15日：8:00—10:50

教学内容计算固体力学的基本理论 固体力学(以弹性力学为主描述)的基本理论 能量、变分原理和变分法 特殊问题的数值计算方法 介绍各类方法的构造过程 有限差分法(Finite Different Method) 加权残数法(Weighted Residual Method) 有限元法(Finite Element Method) 无网格法(Meshless Method) 边界元方法(Boundary element Method)

计算固体力学的主要方法

有限元法的应用和前后处理

参考教材 R.D.Cook,有限元分析的概念与应用 (Concepts and Application of Finite Element Analysis)关正西等译，西安交大 出版社 王勖成等, 有限单元法基本原理和数值方法， 清华大学出版社 杨庆生, 现代计算固体力学，科学出版社 刘正兴等, 计算固体力学，上海交大出版社

第一章 前言一 计算固体力学的任务：1.力学的任务物体机械运动的规律 ——研究物体受到的力和物体发生的运动的关系 物体(流体，固体，气体) 力(热，电，磁等环境) 运动

流体力学：研究对象是流体 2.固体力学的任务

(水，空气等);

固体力学

研究固体(结构)在外部作用(外力，温度等变化)下的变形 和应力及其演化规律，根据这些规律研究固体和结构的破坏 (刚度、强度、疲劳、断裂以及稳定性等) 根据研究对象的不同：弹性力学，塑性力学，断裂力学，冲击 力学; 材料力学，理论力学等 根据采用的方法：实验，理论和计算4

固体力学的任务(续) 重点：建立固体在外部作用下的变形和应力 以及演化规律的数学模型(控制方程) 例如： 应力~外力之间的关系：平衡方程(运动方程) 应力~应变之间的关系：本构方程 研究变形的机理，变形的诱因(外部作用)、应 力和应变的定量关系： 弹性问题：Hooke定律 热弹性问题：热膨胀规律 塑性问题：屈服条件；强化准则；流动准则 断裂问题：起裂条件；扩展规律5

变形的描述以及几何关系 主要研究变形的描述方式(应变，位移，转角等) 建立变形与位移之间的定量关系 应变与位移之间的定量关系例如：小变形条件下：

1 ui u j ij = 2 x j xi

1 ui u j 1 um um = 有限变形条件下： ij 2 x j xi 2 x j xi 边界条件： 位移边界：应力边界：

ui ( x) ui

x u

ij ( x)n j ti

x 6

求解方法以及对应的控制方程 (1)力法未知量：以应力作为基

本未知量 控制方程：平衡方程；相容方程(变形协调方程)

(2)位移法：未知量：以位移作为基本未知量 控制方程：位移表示的平衡方程； 边界条件

对应原理，变分原理

研究：微分方程的积分形式， 泛函变分与基本方程的对应 建立各种问题所对应的变分原理 任务：国体力学是建立固体变形规律所必须 满足的规律以及数学模型，为各种求解策略 提供理论基础。

计算固体力学的任务和研究内容 任务：以固体力学的基本理论为基础，研究利用计算机 科学与技术求解固体力学中各类问题的数值分析 理论、方法、建模、软件实现；

研究内容：(1)研究固体力学中各类问题的数值计算方法，基 本原理； (2)采用数值模拟技术，分析固体的变形演化规律、 破坏规律、应力分布规律，揭示新的力学现象， 包括材料性能揭示；工程中的力学问题等。 (3)工程问题的模型化、可视化、虚拟现实9

结构分析问题 各种工程结构常见的结构元件：(1)杆、梁、柱(长>>宽和高) (2)板(中厚板)、壳(厚<<长和宽) (3)三维体 (4)薄壁结构(飞机机翼与机身等) (5)以上结构类型的复合体

结构分析问题包括：

(1)强度问题(应力) (2)刚度问题(变形) (3)稳定性问题 (4)振动问题10

计算固体力学的主要方法 有限元法(位移协调元,杂交元，应力元，拟协调元) 边界元法 无网格法(mesh-free method): Non-structural finite difference(Orkisz,2001); Element-free Galerkin(Belytschko,1994) Smooth particle hydrodynamic(Gingold,1997) Partition of Unity((Melenk,1996) Finite Point method(Onate,1996) Meshless finite element(Onate,2003) Finite sphere(Bathe,2001) Natural element (Belytschko,1998) 扩展的有限元法(x-FEM) 等几何法(isogeometric method) 变分法 加权残数法11

有限元法的发展历史近似求解偏微分方程的数值方法： Lord Rayleigh and Ritz , Galerkin 采用试函数(trial functions) 对偏微分方程的解进行近似 Courant 引入子域内分片连续试函数( piecewise-continuous functions) 的概念，标志着有限元方法的起始 1960s. Clough在平面应力分析中引入 finite element 的名称 1960s-1970s. 板弯曲、壳弯曲、压力容器、三维弹性问题、流 动、热传导等采用有限元方法求解 ；美国空间计划支持 Nastran的开发 1970s. 开发了ANSYS , ALGOR , COSMOS/M , SAP, NONSAP and ABAQUS etc. 目前. FEM系统可在微机上解决大规模结构分析问题12

计算力学发展展望 计算力学研究采用计算机和相应计算方法求解力学问题、认识力学现象的方 法、理论、软件实现和工程应用。计算力学是力学学科和计

算机科学技术交 叉而形成的力学分支，是计算科学和工程的核心学科。

计算力学起始于有限元法 . 有限元法的诞生可追溯到 50 年代中期 Martin, Clough,Turner(1956),Argyris(1955) 等的工作；前者为了采用计算机求解 波音公司的三角形机翼动力问题 , 在Zienkiewicz 等人的努力下，这一方法 被迅速推广至连续体、岩土工程、动力学问题、稳定性问题的求解，其基础 数学理论和求解问题的算法也不断得到完善。有限元法取得的巨大成功是惊人的, 它以经典牛顿力学为基础，为人们提供 前所未有的能力，预测和理解复杂系统，模拟复杂的物理现象，利用这些模 拟设计复杂的工程系统。它已使力学这个古老学科成为对制造、通讯、运输、 医疗、国防和很多对人类文明非常核心的领域产生决定性影响的学科；对科 学和技术已经产生了深远的影响。

计算力学发展展望 计算力学的延伸造就了 CAE 软件和产业，而 CAE 产业产生了巨大的社会和经济效益，其 直接经济效益每年达数十亿美元，而间接经 济效益上百亿美元。 计算力学已经引发一个令人振奋的新观点： 理论、实验和计算成为现代科学的三大支撑； 产生了一个新的领域“计算科学”。 在2005年美国总统信息技术顾问委员会给总 统的报告“计算科学：确保美国竞争力”中 指出，“计算科学采用先进的计算能力理解 和求解复杂问题, 已经成为对美国科技领导 地位、经济竞争力和国家安全的关键，计算 科学是21世纪最重要的技术领域之一” 。

计算力学发展展望 随着计算机软硬件和软件开发新工具、外围设备和相关工具 的改进和发展，新世纪的计算力学有了前所未有的发展机遇 随着人们关心以量子、分子和生物力学为基础的物理(微电 子、微机电系统)和生物系统的模型，关心巨尺度的自然现象 (海啸、雪崩),计算力学有无限的未来发展和应用的前景 计算力学研究具有跨学科的性质，使其能反映概念、方法和 原则的组合，常常横跨力学、数学、计算机科学和其他科学领 域。其成功推动了“基于模拟的工程科学”的产生

计算力学发展展望 “基于模拟的工程科学” (Simulation-based Engineering Science)为工程系统的模拟提供科学和数学基础的学科，它关注复 杂、相互关联的工程系统的计算机模型和模拟，关注满足规定精度 和可靠度标准的数据的获取，它已科学理解的进步为基础，并通过 计算机模拟，将其与解决工程问题的新方法结合

“基于模拟的工程科学” 已经并将持续对工 程、科学研究和解决重大社会问题各个领域 产生巨大的影响；将带来新世纪工程科学

的 革命性变革 Revolutionizing Engineering Science through Simulation16

教学内容计算固体力学的基本理论 固体力学(以弹性力学为主描述)的基本理论 能量、变分原理和变分法 特殊问题的数值计算方法 介绍各类方法的构造过程 有限差分法(Finite Different Method) 加权残数法(Weighted Residual Method) 有限元法(Finite Element Method) 无网格法(Meshless Method) 边界元方法(Boundary element Method)

计算固体力学的主要方法

有限元法的应用和前后处理

第二章 弹性力学基本理论常用的数学知识和记号： 张量和张量运算 张量：满足一定的坐标变化规律的数表。例如： 向量： T a a , a , a in e1 , e2 , e3 a a1e1 a2e2 a3e3 1 2 3 b2e2 b3e3 =b1e1 b1 , b2 , b3 T

, e2 , e3 in e1

在不同的坐标系下，分量 a1, a2 , a3 和 b1, b2 , b3 满足矢量的变换关系 a 称为一阶张量。 A11 A Aij 21 An1 A12 A22 An 2 A1n A2 n Ann

Aij 二阶张量

张量的运算 加减运算：A=B C =C B 点积运算(内积): C =A B 求和约定：c=ai bi ai bii 1 N

Aij Bij CijCij = Aim Bmjm 1 N

微分运算： 例如：应变

Cijk =

Aij xk

Aij ,k

N Aik A Ci = Aik ,k ik xk k 1 xk

1 ui u j 1 ij = (ui , j u j ,i ) 2 x j xi 220

弹性力学的基本理论 弹性力学的基本假定:连续性,均匀性,各向同性,完全弹性,小变形五个假设

建立根据作用于弹性体上的外力,决定弹性体内的变 形和应力及其演化规律的数学模型(控制方程)。 弹性体的变形和内力描写——应变，应力的定义 用应变张量描写每一点的变形

ij用应力张量描写每一点的内力

ij21