高斯消元法与矩阵的初等变换

高斯消元法与矩阵的初等变换

§1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换

一、引 入 二、高斯消元法与初等变换 三、初等矩阵

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高斯消元法与矩阵的初等变换

一、引入

方程组AX = b

a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 就是 L L L L L L am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = bm

a11 a21 A 其中 = M a m1

A = [ A, b]

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a12 a22 M am2

x1 L a1n b1 x2 L a2n X = , b = b2 M ， M M x b L amn n m

高斯消元法与矩阵的初等变换

齐次方程组：AX = 0; 齐次方程组： 方程组 非齐次方程组： 非齐次方程组：AX = b, b ≠ 0 方程组 (b中至少有一分量不为零 中至少有一分量不为零) 中至少有一分量不为零 = b 成立 则称 为AX = b的解： 成立， 则称X为 的

x1 x2 定义 X = 使得 使得AX M xn

a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 x 即 1 ,..., xn使得 a21 x1 + a22 x2 +L+ a2n xn = b2 方程组成立 L L L L L L am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = bm

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高斯消元法与矩阵的初等变换

方程组： 方程组：AX = b 方程组何时有解？ 问题 方程组何时有解 若有解，有多少解？如何求出其全部解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解

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高斯消元法与矩阵的初等变换

二、高斯消元法与初等变换

用消元法解下列方程组的过程． 引例 用消元法解下列方程组的过程．

2 x1 x2 x3 + x4 = 2, x + x 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 + 2 x3 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 9 x3 + 7 x4 = 9,

1 2

3

÷2

(1)

4

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解

(1)

1 2 3 ÷2

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x x x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 + x3 x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 5 x2 + 5 x3 3 x4 = 6, 3 x 2 3 x 3 + 4 x 4 = 3,

1 2

3

4 1 2

2 3 4

3 21 31

3

4

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高斯消元法与矩阵的初等变换

x 2 x 3 + x4 = 0, (2)

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 5 x2 + 5 x3 3 x4 = 6, 3 x 2 3 x 3 + 4 x 4 = 3,

1 2

3

4

1 2 × 2 3 +52 4 32

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 2 x 4 = 6, x 4 = 3,

1 2

3

4

7

高斯消元法与矩阵的初等变换

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 2 x 4 = 6, x 4 = 3,

1 2

3

4

1 x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 2 3 4 回代” 用“回代”的 3 方法求出解： 方法求出解： 4 23 x 4 = 3, 4 0 = 0, x1 = x3 + 4 其中x 于是解得 x2 = x3 + 3 其中 3为任意取值 . x = 3 4

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x1 = x3 + 4 其中x x2 = x3 + 3 其中 3为任意取值 . x = 3 x3称为自由未知量 4

或令 x 3 = c , 方程组的解可记作

x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = 3

其中 c为任意常

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