2013年朝阳区高三二模数学(理科)试题及参考答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（理工类）

2013.5

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项. （1）已知集合M 0,1,3 ，集合N {x|x 3a,a M}，则M

N=

A. 0 B. 0,3 C. 1,3,9 D. 0,1,3,9 （2）若

1

(x2 mx)dx 0，则实数m的值为

12

B. C. 1 D. 2 33

（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16

A.n

6?

B.

n 7?

C.n 8?

D.n 9A.

x2y2

（4）若双曲线2 2 1(a 0,b 0)的渐近线与抛物线y x2 2ab

共点，则此双曲线的离心率的取值范围是

A.[3, ) B.(3, ) C.(1,3] D.(1,3) （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

11 B. 631

C. D.1 2

A.

正视图

侧视图

（第5题图） （第3题图）

（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多

安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有

A.10种 B.12种 C.18种 D.36种

俯视图

（7）已知函数f(x) a 2 1(a 0)，定义函数F(x)

①F(x) |f(x)|； ②函数F(x)是奇函数；

x

f(x),x 0,

给出下列命题：

f(x),x 0.

③当a 0时，若mn 0，m n 0，总有F(m) F(n) 0成立． 其中所有正确命题的序号是

A.② B.①② C.③ D.②③

（8）点P是棱长为1的正方体ABCD A1BC11D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA PC1的取值

范围是

A.[ 1, ] B.[

1

4111

, ] C.[ 1,0] D.[ ,0]

224

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i为虚数单位，计算

3 i

． 1 i

（10）若直线l与圆C:

x 2cos ,

（ 为参数）相交于A，B两点，且弦AB的中点坐标

y 1 2sin

是(1, 2)，则直线l的倾斜角为 ．

（11）如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC 4,PB 8，

则tan COP ，△OBC的面积是 ．

（12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为

2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买

3x 4y 19,

（13）将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组 x 1,所构成的三角形区域内，则该质

y 1

点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ． （14）数列{2 1}的前n项1,3,7,

中任取k(k 1,2,3,

n

,2n 1组成集合An {1,3,7,,2n 1}(n N )，从集合An

,n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规

定乘积为此数本身），记Sn T1 T2 Tn．例如当n 1时，A1 {1}，T1 1，S1 1；

当n 2时，A2 {1,3}，T1 1 3，T2 1 3，S2 1 3 1 3 7.则当n 3时，

S3 Sn

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且f(A) 2cos（Ⅰ）求函数f(A)的最大值； （Ⅱ）若f(A) 0,C

（16）（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD是正方形，EA 平面ABCD，EA

AAAA

sin( sin2

cos2.

2222

,a b的值． 12

PD，AD PD 2EA 2，F，

G，H分别为PB，EB，PC的中点．

（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；

（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线

PA所成的角为60？若存在，求出线段PM的长；

若不存在，请说明理由.

（17）（本小题满分13分）

C

为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，

其成绩等级为“A 或B”的概率；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，

记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．

（18）（本小题满分13分）

已知函数f(x)

mx

1（m 0），g()x ex2(axa) R. 2

x 1

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当m 0时，若对任意x1,x2 [0,2]，f(x1) g(x2)恒成立，求a的取值范围.

（19）（本小题满分14分）

x2y2

已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的右焦点为F(1,0)，短轴的端点分别为B1,B2，且

ab

FB1 FB2 a.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F且斜率为k(k 0)的直线l交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交

于点D.设弦MN的中点为P，试求

（20）（本小题满分13分）

已知实数x1,x2,

DP

的取值范围． MN

,xn（n 2）满足|xi| 1(i 1,2,3,,n)，记S(x1,x2,,xn)

1 i j n

xixj．

（Ⅰ）求S( 1,1, )及S(1,1, 1, 1)的值； （Ⅱ）当n 3时，求S(x1,x2,x3)的最小值； （Ⅲ）求S(x1,x2,（注：

2

3

,xn)的最小值．

,xn中任意两个数xi,xj（1 i

j n）的乘积之和.）

1 i j n

xixj表示x1,x2,

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数学学科测试答案（理工类）

2013.５

（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：

（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为f(A) 2cos

AAAA

sin sin2 cos2 2222

sinA cosA A ).

4

因为A为三角形的内角，所以0 A ，

A . 444

3

所以当A ，即A 时，f(A) 6分

442

（Ⅱ）由题意知f(A) A ) 0，所以sin(A 0．

44

又因为 A ，所以A 0，所以A ．

44444

又因为C ，所以B ．

123

sin

abasinB 3． 13分 由正弦定理得，b

sinAsinBsinAsin4

所以

（16）（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为F,G分别为PB，BE的中点，

所以FG

PE.

又FG 平面PED，PE 平面PED， 所以FG

平面PED. 4分

（Ⅱ）因为EA 平面ABCD，EA

PD，

所以PD 平面ABCD， 所以PD AD，PD CD. 又因为四边形ABCD是正方形， 所以AD CD.

如图，建立空间直角坐标系， 因为AD PD 2EA 2,

所以D 0,0,0 ，P 0,0,2 ，A 2,0,0 ，

5分

因为F，G， H分别为PB，EB，PC的中点，

所以F 1,1,1 ，G(2,1,)，H(0,1,1). 所以GF ( 1,0,)，GH ( 2,0,).

C 0,2,0 ，B 2,2,0 ，E(2,0,1)．

121212

1 x z 0 121 n1 GF 0

设n1 (x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量，则 ,即 ，

1 2x z 0 n1 GH 011

2

再令y1 1，得n1 (0,1,0).PB (2,2, 2),PC (0,2, 2).

n2 PB 0

设n2 (x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则 ,

n2 PC 0

即

2x2 2y2 2z2 0

，令z2 1，得n2 (0,1,1).

2y2 2z2 0

n1 n2n1 n

2

=

所以cosn1,n2=

. 2

. 9分 4

所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为

（Ⅲ）假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60. 依题意可设PM PC,其中0 1. 由PC (0,2, 2),则PM (0,2 , 2 ).

又因为FM FP PM,FP ( 1, 1,1)，所以FM ( 1,2 1,1 2 ). 因为直线FM与直线PA所成角为60，PA (2,0, 2)，

所以cosFM,PA=

115

，即 ，解得 . 2

82所以PM (0,,

)，PM

5454. 4

所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为

60，此时PM

. 4

14分

（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A或B”的频率为

46101

． 3030303

从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A 或B”的概率约为

1

． 3分 3

（Ⅱ）由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．

238010

所以P(X 0) C3() () ；

3327

2124111

P(X 1) C3() ()2 ；

332791262

P(X 2) C32()2 ()1 ；

33279

21313

P(X 3) C3() ()0 ．

3327

随机变量X的分布列为

812 1 2 3 1． 9分 所以EX 0 27272727

（Ⅲ）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．

设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为m,n．

2

显然基本事件的总数为C30．

不妨设m n，

当m 90时，n 60或40或30，其基本事件数为C4 (C10 C7 C3)； 当m 70时，n 40或30，其基本事件数为C6 (C7 C3)； 当m 60时，n 30，其基本事件数为C10 C3；

1

11

1

11

1

1

1

111111111C4 (C10 C7 C3) C6 (C7 C3) C10 C334

所以P(M) ． 2

C3087

所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为

34

． 13分 87

（18）（本小题满分1 3分）

m(1 x2)m(1 x)(1 x)解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R，f (x) 2. 1分 222

(x 1)(x 1)

①当m 0时，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，函数f(x)的单调递增区间是( 1,1)，单调递减区间是( , 1)，(1, ). 3分

②当m 0时，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，函数f(x)的单调递增区间是( , 1)，(1, )，单调递减区间是( 1,1).

5分

（Ⅱ）依题意，“当m 0时，对于任意x1,x2 [0,2]，f(x1) g(x2)恒成立”等价于 “当m 0 时，

对于任意x [0,2]， f(x)min g(x)max成立”.

当m 0时，由（Ⅰ）知，函数f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为f(0) 1，f(2)

2m

1 1，所以函数f(x)的最小值为f(0) 1. 5

所以应满足g(x)max 1. 6分

因为g(x) x2eax，所以g (x) (ax2+2x)eax. 7分 ①当a 0时，函数g(x) x2， x [0,2]，g(x)max g(2) 4，

显然不满足g(x)max 1，故a 0不成立. 8分 ②当a 0时，令g (x) 0得，x1 0，x2 （ⅰ）当

2. a

2

2，即 1 a 0时， a

在[0,2]上g (x) 0，所以函数g(x)在[0,2]上单调递增，

所以函数g(x)max g(2) 4e2a. 由4e

2a

1得，a ln2，所以 1 a ln2. 10分

2

2，即a 1时, a22

在[0, )上g (x) 0，在( ,2]上g (x) 0，

aa

22

所以函数g(x)在[0, )上单调递增，在( ,2]上单调递减，

aa24

所以g(x)max g( ) 22.

aae

42

由22 1得，a ，所以a 1. 11分 aee2

（ⅲ）当 0，即a 0时,显然在[0,2]上g (x) 0，

a

（ⅱ）当0

函数g(x)在[0,2]上单调递增，且g(x)max g(2) 4e2a.

显然g(x)max 4e2a 1不成立，故a 0不成立. 12分 综上所述，a的取值范围是( , ln2]. 13分 （19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）依题意不妨设B1(0, b)，B2(0,b)，则FB1 ( 1, b)，FB2 ( 1,b).

由FB1 FB2 a，得1 b a.又因为a b 1，

解得a 2,b .

2

2

2

x2y2

1. 4分 所以椭圆C的方程为

43

（Ⅱ）依题直线l的方程为y k(x 1).

y k(x 1),

由 x2y2得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0.

1

43

8k24k2 12

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1 x2 ，x1x2 . 6分

3 4k23 4k24k2 3k,). 7分

所以弦MN的中点为P(22

3 4k3 4k

所以MN

12(k2 1)

. 9分

4k2 3

3k14k2

(x 2)， 直线PD的方程为y 2

4k 3k4k 3k2k2

,0)，

由y 0，得x ，则D(2

2

4k 34k 3

所以DP . 11分

DP 所以 12分 212(k 1)MN

4k2 3

又因为k 1 1，所以0

2

1

1.

2

k 1

所以0

1 . 4

所以

DP1

的取值范围是(0,). 14分

4MN

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知得S( 1,1, ) 1

2

322

1． 33

S(1,1, 1, 1) 1 1 1 1 1 1 2． 3分

（Ⅱ）设S S(x1,x2,x3)．

当n 3时，S S(x1,x2,x3)

1 i j 3

xixj x1x2 x1x3 x2x3．

若固定x2,x3，仅让x1变动，此时S x1x2 x1x3 x2x3 (x2 x3)x1 x2x3， 因此S min{S(1,x2,x3),S( 1,x2,x3)}． 同理S(1,x2,x3) min{S(1,1,x3),S(1, 1,x3)}．

S( 1,x2,x3) min{S( 1,1,x3),S( 1, 1,x3)}．

以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可在某一组取值 1的x1,x2,x3所达到， 于是S min{S(x1,x2,x3)}．

xk 1k 1,2,3

122[(x1 x2 x3)2 (x12 x2 x3)] 213 (x1 x2 x3)2 ． 2213

因为|x1 x2 x3| 1，所以S 1，且当x1 x2 1，x3 1时，S 1．

22

当xk 1（k 1,2,3）时，S

因此Smin 1． 8分 （Ⅲ）设S S(x1,x2, x1x2 x1x3

固定x2,x3,

,xn)

1 i j n

xixj

x2xn

xn 1xn.

x1xn x2x3

,xn，仅让x1变动，此时

xn) x1 (x2x3

x2xn

xn 1xn)，

S (x2 x3

因此S min{S(1,x2,x3,同理S(1,x2,x3,

,xn),S( 1,x2,x3,,xn)}．

,xn)}． ,xn)}．

,xn所达到，于

,xn) min{S(1,1,x3,,xn),S(1, 1,x3,,xn),S( 1, 1,x3,

S( 1,x2,x3,,xn) min{S( 1,1,x3,

以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可在某一组取值 1的x1,x2,

是S min{S(x1,x2,

xk 1k 1,2,,n

,xn)}．

当xk 1（k 1,2,

12

,n）时，S [(x1 x2 xn)2 (x12 x2

21n (x1 x2 xn)2 ． 22n

， 2

1

2

2 xn)]

①当n为偶数时，S 若取x1 x2

xn 1，xn xn

2

2

2

nn

xn 1，则S ，所以Smin ．

22

②当n为奇数时，因为|x1 x2 若取x1 x2 所以Smin

1

xn| 1，所以S (n 1)，

2

1

2

xn 1 1，xn 1 xn 1

2

2

2

1

xn 1，则S (n 1)，

2

1

(n 1)． 13分 2