方程的根与函数的零点

函数，方程与不等式

【知识梳理】

方程的根，函数的零点，不等式的临界点 导函数的极致点（原函数单调性的分水岭）

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【典例精析】

一、函数与方程

1.函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面.

2.方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解.包括待定系数法，换元法、转换法和构造方程法四个方面.

3.与函数和方程思想有关的常见题型： ①与不等式、方程有关的最值问题； ②建立目标函数，求最值或最优解问题；

③在含有多个变量的问题中，选择合适的自变量构造函数解题；

④实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不等式性质等知识解答； 4.函数与方程思想的几种重要形式

(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0；

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分

重要；

(4)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论； 类型一：函数与方程

例1 设数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝1－an；数列{bn}的前n项和为Sn，Sn＝1－bn.

1

（1）设cn＝Tn

① 证明数列{cn}为等差数列； ② 求数列{an}的通项公式；

（2）若Tn(nbn＋n－2)≤kn对n∈N*恒成立，求实数k的取值范围． 例2 已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R.

（1）当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （2）若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数

g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

归纳总结

1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．

2．在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．

3．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．

总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中的函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案

【基础知识总结】

1、函数的零点

对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． 2、函数的零点与方程根的关系

函数F(x)=f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标． 3、零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c) = 0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．

4、二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

【典例剖析】

(x|logx| 例 函数 f ) 2 0.5 1 的零点个数为（ ）

A.1 B.2 C.3

D.4

x

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