2013年高考数学总复习 4-4 两角和与差的三角函数课件 新人教B版

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第 四 节

两角和与差的三角函数

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重点难点 重点：掌握两角和、两角差、二倍角公式，并运用 这些公式化简三角函数式，求三角函数值，证明三角恒 等式等. 难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些 公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用.

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知识归纳 1.在两角和与差的公式中，以公式 C(α±β)为最基本， 其推导过程应熟练掌握.教材用平面向量对 C(α- β)进行了 推导，类似地也可以用平面向量方法推证 C(α+β). 下面用 对称和两点间的距离公式给出 C(α+β)的推证过程，望细心 体会其思路方法.

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如右图，点 P1,P2,P3,P4 的 坐标分别为 P1(1,0), 2(cosα, P sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4 (cos(-β),sin(-β)),由 P1P3 =P2P4 及两点间距离公式得[cos(α +β)-1]2 +sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2 +[sin(-β)- sinα]2,整理得 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,本公式 中 α,β 对任意角都成立. 也可以先用此法导出 C(α- β).

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2.公式之间的关系及导出过程

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3.和、差、倍角公式 (1)Cα±β:cos(α± β)= cosαcosβ sinαsinβ .

cosαsinβ . (2)Sα±β:sin(α± β)= sinαcosβ±(3)Tα±β:tan(α± β)=tanα± tanβ 1 tanα· tanβ

.

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(4)S2α:sin2α= 2sinαcosα .2 2 2 2 (5)C2α:cos2α= cos α-sin α = 2cos α-1 = 1-2sin α .

(6)T2α:tan2α=

2tanα 1-tan2α

.

只有③和⑥对角 α,β 须附加限制条件，使其有意义.如 π kπ π ⑥中须 α≠kπ+ 且 α≠ + .(k∈Z). 2 2 4

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4.asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ),其中 a b b cosφ= 2 2,sinφ= 2 2,tanφ=a. a +b a +b φ 的终边所在象限由 a,b 的符号来确定.

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误区警示 1.本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟悉 公式的来龙去脉，这样才能准确地应用公式.特别是公 式中的“+”,“-”号要熟记，二倍角的余弦也是易 记混的地方，还要注意公式的逆用、变形运用. 2.三角变换常见的有变角、变名、变幂、变结构(如 和积互变)等.应特别注意变换的等价性，解题过程中要 善于观察差异，寻找联系，实现转化.

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3.在三角函数的求值、求角问题中，常常要先讨论 (估计)角的取值范围， 依据此范围来求角的值或讨论函数 的符号.解三角函数求值(角)题，千万不要不假思索，盲 目就下结论.

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一、公式的灵活运用 1.公式的逆用与变形运用 如：tanα± tanβ=tan(α± β)(1 tanα· tanβ), 1+cos2α 1-cos2α sin2α 2 2 cosα= ,cos α= ,sin α= , 2sinα 2 2 1+cosα 1-cosα 1-cosα 2α 2α cos = ,sin = ,tan = . 2 2 2 2 2 1+cosα2α

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2.解题过程中注意公式的选取 由于 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.解 题时应根据不同的

函数名称的需要， 选取不同的形式. 公 式的双向应用分别起缩角升幂(1+cos2α=2cos2α,1- 1-cos2α cos2α = 2sin α) 和 扩 角 降 幂 (sin α = , cos2α = 22 2

1+cos2α )的作用. 2

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二、解题技巧 1.在三角函数的化简、求值与证明中，常常对条件 和结论进行恰当变换， 以满足应用公式的条件. 常见的有： (1)角的变换，注意拆角、拼角技巧(如 α=(α+β)-β α+β α-β α-β =(α-β)+β, (α+β)+(α-β)=2α, β= - , 2 2 2 β α = α+ - +β ,75° =45° +30° 等等); 2 2