求导法则与导数公式
2.2 求导法则 与导数公式
求导法则与导数公式
2.2.1若干基本初等函数的导数1. ( C ) 0 ; 2. ( x ) x 1 ( R ) ; 3. (sin x ) cos x ; 4. (cos x ) sin x ; 5. (log a x ) 1 x ln a
;
(ln x )
1 xx
;
6. ( a x ) a x ln a ;
( e ) ex
求导法则与导数公式
2.2.2导数的四则运算法则定理 1 若函数 f ( x )、 g ( x ) 在点 x 处可导 ,则(1) [( f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ) ;
(2) [ f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ;
特别 [ cf ( x )] C f ( x ) ( C 为常数 ) ;(3) [f ( x) g( x ) ] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) [ g ( x )]2
, ( g( x ) 0) ;
特别 [
1 g( x )
]
g ( x ) [ g ( x )]2
, ( g( x ) 0) .
求导法则与导数公式
证明:令 y f ( x ) g ( x ) ,则 只证公式(2)。y lim y x x 0
lim
f ( x x ) g( x x ) f ( x )g( x ) x
x 0
lim [ x 0
f ( x x ) g( x x ) f ( x ) g( x x )∵函数 g ( x ) 在 x 点可导,∴函数 g ( x ) 在 x 点连续,
x f ( x ) g( x x ) f ( x ) g( x ) x
]
lim [ x 0
f ( x x ) f ( x )
x g( x x ) g( x ) lim [ f ( x ) ] x 0 x
g ( x x )]
∴ lim g ( x x ) g ( x ) 。 x 0
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
求导法则与导数公式
公式(1)、(2)可以推广到有限多个函数的情形,即
① [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) ] ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) ; f1
② [C 1 f 1 ( x ) C 2 f 2 ( x ) C n f n ( x )] C 1 f 1 ( x ) C 2 f 2 ( x ) C n f n ( x ) ;
③ [( f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )] f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
求导法则与导数公式
例1 求下列函数的导数
(1) y 2 x 3 e sin 2 xx
(2) y
x 5
x 1 x3
3 cos x ;x
(3) y x sin x (ln x 3
1 x
)
(4) y
ln x x
4
求导法则与导数公式
例1 求下列函数的导数
(1) y 2 x 3 e sin 2 xx
解: y (2 x 3 e x 2 sin x cos x ) 2( x ) 3( e ) 2[(sin x ) cos x sin x (cos x ) ]x
2
1 2 x
3 e 2(cos x sin x )x 2 2
1 x
3 e 2 cos 2 x .x
求导法则与导数公式
(2) y
x 5
x 1 x23
3 cos x ;x
解: y x x2 y ( x ) ( x
5 2
x
3
3 cos x ,x
5 2
) ( x ) (3 ) cos x 3
(cos x ) x x
3
2x
5 2
7 2
x
3x
4
3 ln 3 cos x 3 sin x 。x x
求导法则与导数公式
(3) y x sin x (ln x 3
1 x1 x
)
解: y [ x sin x (ln x 3
)]
( x ) sin x (ln x 3
1 x
) x (sin x ) (ln x 3
1 x
) x sin x (ln x 3
1 x
)
3 x sin x (ln x 2
1 x1 x
) x cos x (ln x 3
1 x1 x
) x sin x (3
1 x
1 x2
)
3 x sin x (ln x 2
) x cos x (ln x 3
) ( x x ) sin x .2
求导法则与导数公式
(4) y
ln x x
4
解: y y 4
ln x x
4
4 ln x x2
(ln x ) x ln x ( x ) x
4
1 ln x x2
4(1 ln x ) x2
.
求导法则与导数公式
例 2.求函数 y tan x 的导数。
解: y (tan x ) (2 2
sin x cos x
) 1 sec x .2
cos x sin x cos x2
cos x2
2
(tan x ) sec x类似地可得: (cot x ) csc 2 x ,(sec x ) sec x tan x , (csc x ) csc x cot x .
求导法则与导数公式
例 3.求下列函数的导数(1) y 10 1x
10 1x
(2) y shx注: shx
1 2 1
(e ex
x
)
(双曲正弦函数)
chx
thx
2 shx
(e ex
x
) x x
chx
e ex
e ex
cthx
chx shx
e ex
x x
e ex
求导法则与导数公式
例 3.求下列函数的导数(1) y 10 1x
10 1x
解法 1: y x
(10 1 ) (10 1 ) (10 1 )( 10 1 ) x x x x
(10 1 )xx x
2
10 ln 10 (10 1 ) (10 1 ) 10 ln 10x
(10 1 )x
2
2 10 ln 10x
(10 1 )x
2
.
解法 2: y
10 1x
10 1x
1
2 10 1xx
,2 10 ln 10x
y (1
2 10 1x
)
2 (10 1 ) (10 1 )x 2
(10 1 )x
2
.
求导法则与导数公式
(2) y shx解: y ( shx ) [ ( e e ) ] x
1
x
1 2 x
2
(e x
1 ex
)
1 2
(e x
e e
x
2x
)
1 2
(e ex
) chx ,
即
( shx ) chx
类似可得到( chx ) shx , ( thx ) 1 ch x2
,
( cthx )
1 sh x2
求导法则与导数公式
例 4.设 f ( x ) x ( x 1)( x 2 ) ( x 100 ) ,求 f ( 0 ) 。
解法 1: (利用乘积的求导法则)f ( x ) x [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )] x [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )] [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )] x [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )]
f ( 0 ) ( 1 )( 2 )( 3 ) ( 100 ) 100 !.
解法 2: (利用导数的定义)f ( 0 ) lim f ( x ) f (0) x 0x 0
lim
x ( x 1 )( x 2 ) ( x 100 ) 0 x
x 0
lim ( x 1 )( x 2 ) ( x 100 ) 100 !.x 0
求导法则与导数公
式
例 5.已知 f ( x ) g ( x ) sin ( x x 0 ) ( 1 ) ,其中 g ( x ) 在点 x 0 处连续,证明 f ( x ) 在点 x 0 处可导。分析:仅知 g ( x ) 连续,故不能用乘法求导公式, 只能从导数的定义出发来证明。
证明: f ( x 0 ) 0 , f ( x 0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) x x0x x0
lim
g ( x ) sin ( x x 0 ) x x0
x x0
g ( x 0 ), 1 . 1 0,
∴ f ( x ) 在点 x 0 处可导。