北工大高数2008-2009学年第一学期期末考试_工1-A(2)

(11) 设f(x)

21 3

1x

sinx

, x

1）求f(x)的间断点并判断类型，

2）能否使f(x)在间断点处连续.

解： 可能的间断点x 0. lim f(x) 0 1 1， lim f(x) 2 1 1，故x 0是函数

x 0

x 0

的第一类可去间断点，可补充定义令 f(0) 1使f(x)在可去间断点x 0点连续。

x2arctanx

dx. (12) 求不定积分

1 x2

x2arctanx(x2 1 1)arctanx

dx 解：

1 x21 x2

arctanxdx arctanxdarctanx

11

xarctanx ln(1 x2) (arctanx)2 C。

22

e2x b

(13) 设函数f(x)

sinax

x 0,x 0,

问：a,b为何值时，f(x）在x 0处可导并求f (0）.

解： 因f(x)在x 0点处可导，故f(x)在x 0点处连续，所以f (0) f (0)即有1 b 0 b 1 f(0) 0，又f(x)在x 0点处可导，故f (0) f (0)即：

f(x) f(0)e2x 1

f (0) lim lim 2

x 0 x 0x 0xf (0) lim

x 0

f(x) f(0)sinax 0

lim a 故有a 2， 所以 x 0 x 0x

f (0）=2

(14) 直线x 0,x 2,y 0与抛物线y x2 1围成的一平面图形D。

1）求平面图形D的面积；（要求画出平面图形D的草图）

2）求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

解： 注意D有一部分是在x轴的下方 （简答）