数学课为专业课服务：正五边形画法(2)

求sin18

sin(3*18)=cos(2*18)

3sin18-4(sin18)^3=1-2(sin18)^2

设x=sin18

4x^3-2x^2-3x+1=0

4(x^3-x^2)+2(x^2-x)-(x-1)=0

(x-1)(4x^2+2x-1)=0

x1=1,x2=(-√5-1)/4,x3=(√5-1)/4

0<sin18<1

sin18=(√5-1)/4

几何方法:

作等腰三角形ABC,∠A=36,则∠B=∠C=72

作∠C平分线CD,交AB于D,作AH⊥BC于H

则易知∠CAH=18,AD=CD=BC

设BC=1,AC=AB=x

BD/AD=BC/AC

BD/1=1/x,BD=1/x

AB=AD+BD,x=1+1/x

x^2-x-1=0,x=(1±√5)/2

∴AC=(1+√5)/2

sin18=sin∠CAH=CH/AC=(1/2)/[(1+√5)/2]=(√5-1)/4