【原创精品】初高中数学衔接教材专题一1.1绝对(3)

原创精品初高中数学衔接教材

x 2 0 x 2 0

，或

x 2 2x 4 (x 2) 2x 4

2

解得x的取值范围为x

3

解法二、原不等式等价于x 2 2x 4,或x 2 (2x 4)，

2

解得x的取值范围为x

3

【规律方法】（1）f(x) g(x)解法：

f(x) 0 f(x) 0f(x) g(x) ,或 f(x) g(x),或f(x) g(x)；

f(x) g(x) f(x) g(x)

（2）f(x) g(x)解法： f(x) 0 f(x) 0

f(x) g(x) ,或 g(x) f(x) g(x)

f(x) g(x) f(x) g(x)

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值。

【变式训练】

1

x 7 3

【解析】原不等式等价于 (x 4) 3 2x x 4，

1

x 7

3

2.关于x的不等式3 2x x 4的解是

【例3】解不等式：x 1 x 3＞4．

解法一：由x 1 0，得x 1；由x 3 0，得x 3； ①若x 1，不等式可变为 (x 1) (x 3) 4， 即 2x 4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0； ②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x； ③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4， 即2x 4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3| 所以，不等式x x 3＞4的几何意义即为

|PA|＋|PB|＞4．

由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．所以x＜0，或x＞4．

【规律方法】含有两个绝对值的不等式的常用解

|x－1|

图1．1－1