2009年高考试题——数学(江苏卷)解析版(3)

2009年高考试题——数学(江苏卷)解析版

解之得：点P坐标为( 3,13)或(5, 1)。

222219.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为

m；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为n.

m an a

如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA(2)设mA

3

mB时，求证：h甲=h乙；5

3

mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综5

合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲 h0和

h乙 h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。

(1)

3

当mA

mB时，h甲

5

h乙

h甲=h乙

（2）当mA

3

mB时， 5

2009年高考试题——数学(江苏卷)解析版

h甲

由mB [5,20]得

111

[,]， mB205

11 故当即mB 20,mA 12时，

mB20

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

。 5

（3）（方法一）由（2）知：h

0=由h甲

5

m 12mB 55A ， h0

mAmB2令

1535

x, y,则x、y [,1]，即：(1 4x)(1 y) 。

42mAmB

5(1 x)(1 4y)

251

4

52

同理，由h乙 h0

1 x、1+y [,2], 另一方面，x、y [,1]1 4x、1+4y [2,5],

155

(1 4x)(1 y) ,(1 x)(1 4y) ,当且仅当x y ，即mA=mB时，取等号。

422

所以不能否适当选取mA、mB的值，使得h甲 h0和h乙 h0同时成立，但等号不同时成立。

20．(本小题满分16分)设a为实数，函数(1)若(2)求

f(x) 2x2 (x a)|x a|.f(0) 1，求a的取值范围；f(x)的最小值；