高等代数与解析几何(三)期末考试华中师大

高等代数与解析几何

华中师范大学 2006–2007 学年第一学期 期末考试试卷(A 卷)参考答案 期末考试试卷(课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师 樊、朱、刘 题型 分值 得分 填空题 15 判断题 15 计算题 50 证明题 20 总分 100

得分

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一、填空题： (共 5 题，每题 3 分，共 15 分)

1、一个向量α 构成的向量组线性无关当且仅当 α ≠ 0 .

3 1 0 2、矩阵 0 3 1 的初等因子组为 (λ 3) 3 . 0 0 3 3、设 A 为向量空间 V 到 U 的线性映射，则 dim( Ker (A )) + dim(Im( A )) = dim(V) .

4 、 设 λE A 的 初 等 因 子 组 为 λ2 , λ , λ 1, (λ 1) 2 , 则 λE A 的 不 变 因 子 组 是1, 1, 1, 1, λ (λ 1), λ2 (λ 1) 2 .

5、设 A 是复矩阵，如果 A 满足 A A' = A'A , 则称 A 是正规矩阵 .

得分

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二、判断题： (共 5 题， 每题 3 分， 共 15 分，对的请打 “ √ ” ,错的请打 ” × ”)

1、设 A(λ ) 是 n 阶 λ —矩阵，则 A(λ ) 可逆当且仅当 A(λ ) 是有限个初等 λ —矩阵的乘积。 (√ )

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2、正交变换的积还是正交变换. 3、对称变换的积还是对称变换.

( √ ) ( × ) )

4、 若 A 为线性空间 V 到 U 的线性映射，且为单射，则 A 为 V 到 U 的同构映射.( × 5、向量空间 V 的任何子空间 W 都有补子空间.

( √ )

得分

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三、计算题： (共 3 题，共 50 分)

1、 (本题 20 分)

3 1 3 2 设A = . 4 3 4

(1) 求 A 的特征矩阵； (2) 求 A 的子式因子组； (3) 求 A 的不变因子组； (4) 求 A 的初等因子组； (5) 求 A 的若当标准形. λ 3 1 λ 3 2 解： (1)A 的特征矩阵为： λE A = ; λ 4 3 λ 4

(4 分)

1(2)由于 λE A 存在一个三阶子式

λ 3 2 =6,所以 A 的子式因子组为 λ 4 3

λ 3 1 λ 3 2 1 (λ ) = 2 (λ ) = 3 (λ ) = 1, 而 4 (λ ) = = (λ 3) 2 (λ 4) 2 。 λ 4 3 λ 4

(8 分)

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(3)由子式因子组和不变因子组之间的关系，得 A 的不变因子为： d1 (λ ) = 1 (λ ) = 1,

d 2 (λ ) =

(λ ) 2 (λ ) (λ ) = 1, d 3 (λ ) = 3 = 1, d 4 (λ ) = 4 = (λ 3) 2 (λ 4) 2 1 (λ ) 2 (λ ) 3 (λ )2 2

(12 分)

(4) 由初等因子组和不变因子组之间的关系，得 A 的初等因子组为： (λ 3) , (λ 4) ; (16 分)

3 1 (5) A 的 Jordan 标准形为： J =

3 4 1

。 4

(20 分)

2、 (本题 10 分) 设线性变换 A 在基底( ε 1 , ε 2 , L , ε n )下的矩阵为 0 1 0 A= O O 1 1 N ,而

( α 1 , α 2 , L , α n )= ( ε 1 , ε 2 , L , ε n ) , 1 1 0

求线性变换 A 在基底( α 1 , α 2 , L , α n )下的矩阵.1 1 N N 解： A ( α 1 , α 2 , L , α n )=A ( ε 1 , ε 2 , L , ε n ) =( ε 1 , ε 2 , L , ε n )A 1 1 1 1 1 1 N N =( α 1 , α 2 , L , α n ) A 1 1 1 1 所以线性变换 A 在基底( α 1 , α 2 , L , α n )下的矩阵为 1

(5 分)

1 0 1 1 0 N N OO 1 0 O O = 1 1 0 1 1 1 0 1 0

1

(10 分)

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0 2i 2 3、 (本题 20 分) 设 A = 2i 0 0 , 2 0 0 (1) 证明：矩阵 A 是正规矩阵； (2) 求酉矩阵 Q ,使得 Q 1 AQ 为对角形，并写出此对角形.

(1) 因为有 解：

0 2i 2 0 2i 2 0 2i 2 0 2i 2 A A' = 2i 0 0 2i 0 0 = 2i 0 0 2i 0 0 = A 2 = A'A 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 所以矩阵 A 是正规矩阵。 ( 2 (5 分) ) 由 于

'

λ 2i 2 2i 2 λ 2i λ | λE A |= 2i λ 0 = 2i 0 = ( 2) 1 2 λ λ 2 iλ 2 0 λ 1 2 2 λ 2 iλ 02所以 A 的特征根为 λ1 = 0, λ 2 = 2 2 , λ3 = 2 2 。 当 λ1 = 0 时， 解线性方程组 AX=0,得基础解系为：η1 = (0'

= λ (λ2 8) ,

(11 分)

i 1) 。 分) (12

当 λ 2 = 2 2 时， 解线性方程组 ( 2 2 E A) X = 0 ,得基础解系为：η 2 =

(

2

i 1 。 分) (13

)

'

当 λ3 = 2 2 时， 解线性方程组 ( 2 2 E + A) X = 0 ,得基础解系为：η 3 = 将这三个向量单位化得：

(

2

i 1 。 分) (14

)

'

η ξ1 = 1 = 0 | η1 |

1 2

i

2 η 1 ,ξ 2 = 2 = |η2 | 2 2 '

1 i 2

1 2

'

η 2 ξ3 = 3 = 2 | η3 |

1 i 2

0 2 2 ' 1 1 , 令 Q = (ξ1ξ 2ξ 3 ) = 2i i i 2 2 2 1 1

(17 分)

0 1 。 2 2 则 Q 是酉矩阵，且 Q AQ = 2 2

(20 分)

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得 分

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四、证明题： (共 2 题，共 20 分)

1、 (本题 10 分) 设 A 是酉空间 V 的一个对称变换，W 是 A 的不变子空间，证明：W ⊥ 也是 A 不变子空间.证明： 由 A 是酉空间 V 的对称变换 ， 故 A =A*, 从而对任意的

α ∈ W ⊥ , , β ∈ W ,有(5 分)

Aα , β = α , A * β = α , Aβ

又因为 W 是 A 的不变子空间，故对任意的 β ∈ W ,有 Aβ ∈ W ,从而

Aα , β = α , Aβ = 0所以 Aα ∈W ,即W 也是 A 不变子空间。⊥ ⊥

(10 分)

2、 (本题 10 分) 设 A 是酉空间 V 的正规变换，α 是 A 的属于特征值 λ0 的特征向

量，证明：α 是 A* 的属于特征值 λ0 的特征向量.证明： 证明：由假设，Α α = λ0α ,且由 A 是酉空间 V 的正规变换，从而

A* α , A* α = A α , A α ,故有

(3 分)

A *α λ0α , A *α λ0α = A *α , A *α - A *α , λ0α - λ0α , A *α + λ0α , λ0α = Aα , Aα - α , (A ) = =* *

λ0α - Aλ0α , α + λ0α , λ0α

λ0 λ0 α , α - α , Aλ0α - λ0 λ0α , α + λ0 λ0 α , α λ0 λ0 α , α - λ0 λ0 α , α - λ0 λ0 α , α + λ0 λ0 α , α = 0 .*

(8 分) (10 分)

由内积的正定性，有 A

α λ0α = 0 ,因此 A *α = λ0α