三角函数以及极限公式整合(3)

三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合

x x0

lim f(x) A 或 f (x0) f(x0 0) A

右极限： 0， 0，当x0 x x0 时，恒有f(x) A

lim f(x) A 或 f (x0) f(x0 0) A

x x0

极限存在的充要条件：limf(x) A limf(x)

x x0

x x0

（4）极限的性质

唯一性：若limf(x) A，则A唯一

x x0

保号性：若limf(x) A，则在x0的某邻域内

x x0

A 0(A 0) f(x) 0(f(x) 0)；f(x) 0(f(x) 0) A 0(A 0)

有界性：若limf(x) A，则在x0的某邻域内，f(x)有界

x x0

2. 无穷小与无穷大

（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以 为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当x 时，xsinx是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；

x x0

limf(x) A成立的充要条件是f(x) A （x (x0 ,x0 )，lim 0）

（3）无穷小的比较（设 lim 0，lim 0）： 若lim的主部

若lim若lim若lim若lim

，则称 是比 低阶的无穷小； C，则称 与 是同阶无穷小；

1，则称 与 是等价无穷小，记为 ~ ； C，（C 0,k 0）则称 为 的k阶无穷小；

uv

，则称u是比v高阶的

0，则称 是比 高阶的无穷小，记为o( )；特别 称为 o( )

k

（4）无穷大的比较： 若limu ，limv ，且lim无穷大，记为o1(v)；特别u称为u v o1(v) v的主部

3. 等价无穷小的替换