江西省上饶市2014届高三1月第一次高考模拟考试数

江西省上饶市2014届高三1月第一次高考模拟考试数学(理)试卷

上饶市2014届第一次高考模拟考试

数学（理科）试题卷

命题人：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．

第Ⅰ卷

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的学校、准考证号、姓名填写在答题卡上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卷一并收回．

一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)

(2 i)(1 i)2

1．计算：

1 2i

A．2

（ ）

B． 2 C．2i D． 2i

2．已知集合S xx 1 2,x R,T x（ ）

5

1,x Z ,则S T等于

x 1

A． x|0 x 3,x Z B． x|0 x 3,x Z C． x| 1 x 0,x Z D． x| 1 x 0,x Z

3. 数列{an}的前n项和Sn 2n 3n,则{an}的通项公式为（ ）

2

A．4n 5 B．4n 3 C．2n 3 D．2n 1 4．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ） A

．

． C

．

．

5．设0 x 2 ,

则

（ ）

(第6题)

A．0 x B

CD

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）

A . 6 B. 5 C . 8 D. 7

7．已知a (cos ,sin ),b (cos ,sin ),且a与b之间满足关系

：

k 0,则a b取得最小值时，a与b夹角 的大小

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为（ ） A

B．

C．

D

8．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为函数f(x)的导函数．已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则A . (

b 2

的取值范围是（ ） a 2

D. (－∞，－3)

1111

，) B. (，3) C . (－∞，)∪(3，＋∞) 3222

9. 平面 外有两条直线m和n，如果m和n在平面 内的射影分别是m1和n1，给出下列四个命题：①

m1 n1 m n ②m n m1 n1 ③m1与n1相交 m与n相交或重合 ④m1与n1平行 m与n

平行或重合，其中不正确的命题的个数是（ ） A.4个 B.3个 C .2个 D. 1 10．已知方程组

x 2y z 2u

对此方程组的每一组正实数解(x,y,z,u)，其中z y，都存在正实数M，

2yz ux

且满足M

A. 1

z

，则 M的最大值是 （ ） y

B. 3

C .6

D. 3

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

5

2

11. 二项式 1 的展开式中第四项的系数为 ．

x

12. 若正数x,y满足2x y 3 0，则

x 2y

的最小值为 ． xy

13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有_____种．（用数字作答）

y2x2

14．若F1,F2分别为双曲线2 2 1的下，上焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的下支上，点M在

ab

F1PF1O

上准线上，且满足F2O MP,F1M ( )( 0)，则双曲线的离心率__________.

F1PF1O

15. 选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。 （1）（坐标系与参数方程选做题）直线2 cos 1与圆 2cos 相交的弦长为 ． （2）（不等式选讲题）已知集合A x Rx 3 x 4 11,B x Rx 4t ,t (0, ) ,则集合

1t

A B=________.

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三、解答题（本大题共6小题，共75分．其中第16—19小题每题12分, 第20题13分,第21题14分）. 16.（本题满分12分）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，函数

f(x) 2coxss xinA( 在)A sxinxR

5

处取得最大值。 12

（1）当x (0,

2

)时，求函数f(x)的值域；

，求 ABC的面积。 14

（2）若a

7且sinB sinC

17. （本题满分12分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是

8. 15

(1)请将上面的列表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国

(a b c d)(ad bc)2

式过马路 ”与性别是否有关?(

(a b)(c d)(a c)(b d)

2

当 <2.706时,没有充分的证据判定变量性别有关,当当 >3.841时,有95%的把握判定变量性别有关,当

2

2

2>2.706时,有90%的把握判定变量性别有关,

2>6.635时,有99%的把握判定变量性别有关)

(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

18. （本题满分12分）已知等差数列 an 满足a3 7,a5 a7 26, an 的前n项和为Sn。 （1）求an及Sn；（2）令bn

1

(n N*)，求数列 bn 的前n项和Tn。 2

an 1

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19.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，侧面的角，AA1 2

．底AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°

面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点， E是线段BC1上一

（1AA1B1B；

（2

ABC所成锐二面角的正切值；

第19题图

x2y2222

20如图，椭圆C1：2 2 1（a b 0）和圆C2：x y b，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等

ab

分，椭圆C

1，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任

意直线l与圆C2相交于点A、B． （1）求椭圆C1的方程；（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M. ①求证：直线MP经过一定点；

②试问：是否存在以(m,0)为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存

5

在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由。

2

6，其中a为实常数. x

（1）若f(x) 3x在(1, )上恒成立，求a的取值范围；

3

（2）已知a ，P1,P2是函数f(x)图象上两点，若在点P1,P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间

4

21.已知函数f(x) ax

距离的最大值；

（3）设定义在区间D上的函数y s(x)在点

P(x0,y0)处的切线方程为l:y t

(x)，当

s(x) t(x)

x x0时，若 0在D上恒成立，

x x0

则称点P为函数y s(x)的“好点”．试问函

数g(x) xf(x)是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

2

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上饶市2014届第一次高考模拟考试数学（理科）

试卷答案及评分标准

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

12.3 13. 50 14. 2

(2) [4,6]

三、解答题：共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.解：（1）f(x)=2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA=2sinxcosxcosA-2cosxsinA+sinA

=sin2xcosA-cos2xsinA=sin(2x-A)-------------3分

2

5

处取得最大值 2 5

A 2k ,其中k Z,即A 2k ,k Z 121223

2

A （0， ）, A 又 x (0,), 2x A ( ,)

3233 f(x)在x

sin(2x A) 1,即f(x)的值域为（-----------------6分

(2)由正弦定理

abcb c

得sinB sinC sinA

sinAsinBsinCa

b c b c 13由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA得 7a2 (b c)2 2bc 2bccosA,即49=169-3bc, bc=40

11 S ABC bcsinA 40 --------------------------12分

2217.解(1)

2

30(10 8 6 6)2

1.158 3.841, 所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马由已知数据得:

16 14 16 14

路”与性别有关. ----6分 (2)X的可能取值为0,1,2.

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221C8C6C1415486C8

P(X 0) 2 ,P(X 1) 2 ,P(X 2) 2 ,

C1413C1491C1491

X的数学期望为:EX 0

448156

1 2 .

1391917-------12分

的首项为a1，公差为d，

18. 解：（1）设等差数列

{an}

由a3 7,a5 a7 26，解得a1 3,d 2． 3分

n(a1 an)

，所以an 2n 1,Sn n2 2n． 5分 2

11112

( )． （2）因为an 2n 1，所以an 1 4n(n 1)，因此bn

4n(n 1)4nn 1

11111111n

) (1 ) 故Tn

b1 b2 bn

(1 ，

4223nn 14n 14(n 1)

n

所以数列{b

n}的前n项和Tn ． 12分

4(n 1)

由于an a1 (n 1)d,Sn

19. 解法1：（1）延长B1E

交BC于点F， B1EC1∽△FEB，BE从而点F为BC的中点．

∵G为△ABC的重心，∴A、G、F1，∴BF1C1， 又GE 侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．

（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，

∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1

，B1H 在底面ABC内，过H作HT

⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF， 又平面B1CE与底面ABC的交线为AF∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=

-------------------------12分 Rt△B1HT 平面B1GE与底面ABC成锐切值为

：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱

AA1与底面ABC

成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1

=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC． 以O 则A 0, 1,0 ，B 0,1,0 ，，

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侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA

1B1B． -----5分

（2）设平面B1GE的法向量为n

(a,b,c)

又底面ABC设平面B1GE与底面ABC由于 故平面B1GE与底面ABCa2b2120. 解：（1）依题意，2b 2a，则a 3b，∴c ，又，∴b 1， c

cc43

x2

则a 3，∴椭圆方程为 y2 1． 4分

9

（2）①由题意知直线PE,ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y kx 1，

18k x , y kx 1,2 x 0,18k9k2 1 9k 1 2

,2)， 5分 由 x得 或 ∴P(2

22

9k 19k 1 y 1, y 9k 1, y 1,

9 9k2 1

9k2 19 k2

2

2 18k9 k21k2 1,)，kPM 用 去代k，得M(2， kk 9k2 910k 22

9k 1k 9

9 k2k2 118kk2 14

(x 2)，即y x ， ∴直线PM的方程：y 2

k 910kk 910k544

∴直线PM经过定点T(0,)．综上所述，直线PM经过定点T(0,)． 9分

55

2k x ,2 y kx 1, x 0,2kk2 1 1 k

,2)， ②由 2得 或 ∴A(222

1 kk 1 x y 1, y k 1, y 1,

k2 1

k2 142t y tx k 110k，则t R，直线PM：5，直线AB：y 5tx， x，设则直线AB：y 2k

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假设存在圆心为(m

,0)，半径为

的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，

5

则 4

|mt | 由（ii）得，(m

2

(i)

由（i）得25t(m

2

2

1818182

) 对t R恒成立，则m ， 252525

(ii)

18282

)t mt 0对t R恒成立， 25525

1818821822222

)( ) 0，得m2

当m 时，不合题意；当m 时， (m) 4(m ，即

25255252525，∴存在圆心为(m

,0)，半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交， m 55

5

所有m

的取值集合为

13分 ( 55

21. 解：（1）f(x) 3x在(1, )上恒成立等价于a

26

3， 2xx

26 13 15

令h x 2 3 2

xx2 x2

因为x 1，所以0 （2）f'(x)

则

2

1

1，故 5 h x 3 所以a 3.-----------4分 x

32

2设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，过点P1,P2的两切线互相平行， 4x

3232

，或x1 x2， 2 2，所以x1 x2（舍去）

4x14x2

过点P1的切线l1：y y1 f'(x1)(x x1)，即f'(x1)x y f(x1) x1f'(x1) 0， 过点P2的切线l2：f'(x2)x y f(x2) x2f'(x2) 0

两平行线间的距离是d

32322|(x1 ) x1( 2)|

8

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因为

2524x1 2 5，所以

d

16x1即两平行切线间的最大距离是 ································································ 8分

（3）g(x) xf(x) ax 6x 2x，设g(x)存在“好点”P(x0,y0)，由g'(x) 3ax 12x 2，得

2

3

2

2

h(x) g'(x0)(x x0) g(x0)，依题意g(x )

[g0'x( )x(x0 x x0

g(x )h(x)

0对任意x x0恒成立，因为

x x0

)[gx((x ))]g0( x)]g 'x(0x)(x0g0

，

x x0

)

322

[(ax3 6x2 2x) (ax0 6x0 2x0)] (3ax0 12x0 2)(x x0)

x x022

[a(x2 x0x x0) 6(x x0) 2] (3ax0 12x0 2)

22 ax2 (ax0 6)x (2ax0 6x0)所以ax2 (ax0 6)x (2ax0 6x0) 0对任意x x0恒成立， 2①若a 0，ax2 (ax0 6)x (2ax0 6x0) 0不可能对任意x x0恒成立，

即a 0时，不存在“好点”；

2

②若a 0，因为当x x0时，ax2 (ax0 6)x (2ax0 6x0) 0，

x x0恒成立，必须

22

(ax0 6)2 4a(2ax0 6x0) 0(ax0 2)2 0，所以x0 ，综上可得，当a 0时，不存在“好

a

216 4a

点”；当a 0时，存在惟一“好点”为( ,)．------- 14分 2

aa

要

使

对

任

意

2

ax2 (ax0 6)x (2ax0 6x0) 0