第一章_概率论的基本概念

概率论课件

概率论与数理统计吴茗 Email:mwu@ 办公室：六号楼512

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教材：《概率论与数理统计》

李书刚 编 科学出版社《概率论与数理统计》

浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社

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序

言

概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论与数理统计——研究和揭示随 机现象的统计规律性的一门数学学科

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第一章 概率论的基本概念随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性

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§1 随机试验具有以下特点的试验，称为随机试验 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可用字母E表示

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随机实验的例E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；

随机事件

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§2 样本空间、随机事件样本空间1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S; 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点, 记为e.

幻灯片 6

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随机事件1.定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事 件”, 简称“事件”. 记作A、B、C等；任何事件均可表示为样本空间的某个子集，由一个样本点e 组成的单点集称为一个基本事件,也记为e; 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件 .

例如 对于试验E2 ,以下A 、 B、C即为三个随机事件: A=“至少出一个正面” ={HHH, HHT, HTH, THH,HTT,THT,TTH}; B=“三次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT,THT,TTH}

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可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空 间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概 率 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关 系，如试验E2 ,当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B 同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定 的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。

事件之间的关系与事件的运算事件之间的关系

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1.包含关系：“ A发生必导致B发生”记为A B A=B A B且B A.

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2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”,记作A B

n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 Aii 1

n

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3.积事件:A与B同时发生，记作 A B=AB

n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An

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4.差事件 ：A-B称为A与B的差事件,表

示事件A发生而B不发生

思考：何时A-B= ? 何时A-B=A?

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5. 互斥的事件：AB=

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6. 互逆的事件 A B=S, 且AB=

记作B A ,称为A的对立事件 ;

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事件的运算1、交换律：A B=B A,AB=BA 2、结合律：(A B) C=A (B C), (AB)C=A(BC) 3、分配律：(A B)C=(AC) (BC), (AB) C=(A C)(B C) 4、对偶(德· 摩根)律：A B A B,k

AB A B

可推广为: Ak Ak ,k

A A .k k k k

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例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：

A B C A2 : “恰有一人命中目标”ABC ABC ABC : A3 : “恰有两人命中目标” ABC ABC ABC : A4 : “最多有一人命中目标 : ” BC AC ABA1 : “至少有一人命中目标 : ” A5 : “三人均命中目标” :

ABC A6 : “三人均未命中目标” B C : A

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§3 频率与概率从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性 P(A)应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？

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某人向目标射击，以A表示事件 “命中目标”,P(A)=?

定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值 nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记 为fn(A). 即 fn(A)= nA/n.

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历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。

实验者De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson

n2048 4040 12000 24000

nH1061 2048 6019 12012

fn(H)0.5181 0.5069 0.5016 0.5005

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频率的性质(1) 0 fn(A) 1;(2) fn(S)=1; fn( )=0

(3) 可加性：若AB= ,则fn(A B)= fn(A) +fn(B). 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。将此稳定值记作P(A),可 将它作为事件A发生的概率