高一必修1——复合函数单调区间与值域(教案)

复合函数单调区间与值域

1.已知函数f(x)=ln(ax 2+2x −5a)在(1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围为______________

2.函数y =√−x 2+2x 的单调递减区间为______________

3.函数f (x )=√−x 2+4x 的值域为______________

4.函数f(x)=(12)x

2−2x−8的单调递减区间为______________

5.函数y =log 3(x 2+2x −8)的单调增区间是______________

6.若函数y =a x+1+1(a >0且a ≠1)恒过点P(m,n),则函数f (x )=(14)x −(12)x +1在[m,n]上的最小值是______________

7.已知函数f(x)=log a(−x2+ax−3)，中(a>0,a≠1) .

(1)当a=4时,求f(x)的值域和单调减区间;

(2)若f(x)存在单调递增区间,求a的取值范围.

8.已知函数f(x)=log1

2

(3−2x−x2) .

(1)求该函数的定义域;

(2 )求该函数的单调区间及值域.

9.已知函数f(x)=log3(1

3x)log3(27x),其中x∈[1

9

,3].

(1)求函数f(x)的值域;

(2)求函数f(x)的单调区间.

)x2−2x

10.函数f(x)=(1

3

(1 )求f(x)的单调增区间.

(2)x∈[−1,2]时,求f(x)的值域.

复合函数单调区间与值域答案

1.已知函数f(x)=ln(ax2+2x−5a)在(1,+∞)上是增函数,则a的取值范围为______________

【答案】解:∵函数f(x)=ln(ax2+2x−5a)在(1,+∞)上是增函数,

∴函数t(x)=ax2+2x−5a在(1,+∞)上大于零，且是增函数.

当a=0时，t=2x，满足在(1,+∞)上大于零,且是增函数.

≤1,且t(1)=a+2−5a≥0,

则a>0时,函数t(x)=ax2+2x−5a的对称轴为x=−1

a

求得0<a≤1

2

综上可得，0≤a≤1

2

]

故答案为:[0,1

2

的单调递减区间为______________

2.函数y=

√−x2+2x

【答案】解:由−x2+2x>0,得x2−2x<0,即0<x<2,

的定义域为(0,2)，

∴函数y=

2

令t=−x2+2x,其对称轴方程为x=1,图象是开口向下的抛物线，

则t=−x2+2x在(0,1]上单调递增，可得函数y=

的单调递减区间为(0,1] .

√−x2+2x

故答案为: (0,1].

3.函数f(x)=√−x2+4x的值域为______________

【答案】由题意，令t=−x2+4x=−(x−2)2+4，且t≥0,

可得0≤t≤4,

那么函数f(t)=√t,t∈[0,4],

则0≤f(t)≤2,

所以原函数的值域为[0,2].

故答案为[0,2].

)x2−2x−8的单调递减区间为______________

4.函数f(x)=(1

2

【答案】令t=x2−2x−8,

)t是定义域内的减函数，

∵y=(1

2

)x2−2x−8的单调递减区间,

∴要求函数f(x)=(1

2

只需求t=x2−2x−8的增区间，该函数的对称轴方程为x=1,且图象是开口向.上的抛物线，

则其增区间为[1,+∞)，

∴f(x)=(12)x 2−2x−8的单调递减区间为[1, +∞) ,

故答案为: [1,+∞)

5.函数y =log 3(x 2+2x −8)的单调增区间是______________

【答案】由x 2+2x −8>0，解得x <−4或x >2.

而函数t =x 2+2x −8在(−∞,−4)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, y =log 3t 是定义域内的增函数,

由复合函数的单调性可得,函数y =log 3(x 2+2x −8)的单调增区间是(2,+∞) 故答案为:(2,+∞)

6.若函数y =a x+1+1(a >0且a ≠1)恒过点P(m,n),则函数f (x )=(14)x −(12)x +1在[m,n]上的最小值是______________

【答案】对于函数y =a x+1+1(a >0且a ≠1)，令x +1=0，求得x =−1, y =2,可得它的图象经过定点(−1,2).

∵函数的图象恒过点P(m,n)，则m =−1,n =2.

令(12)x =t ，则当x ∈[−1,2]时，t ∈[14,2], 故函数f (x )=(14)x −(12)x +1在[m, n]上，即在区间[−1,2]上的最小值，

即g(t)=t 2−t +1在[14,2]上的最小值，故当t =12时，函数g(t)取得最小值为34 故答案为: 34. 7.已知函数f(x)=log a (−x 2+ax −3)，中(a >0,a ≠1) .

(1)当a =4时,求f(x)的值域和单调减区间;

(2)若f(x)存在单调递增区间,求a 的取值范围.

【答案】(1)当a =4时, f (x )=log 4(−x 2+4x −3)=log 4[−(x −2)2+1] 设t =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1，

由−x 2+4x −3>0,得x 2−4x +3<0,得1<x <3,即函数的定义域为(1,3), 此时t =−(x −2)2+1∈(0,1]，

则y =log 4t ≤log 41,即函数的值域为(−∞,0],

要求f(x)的单调减区间,等价为求t =−(x −2)2+1的单调递减区间,

∵t=−(x−2)2+1的单调递减区间为[2,3)

∴f(x)的单调递减区间为[2,3).

(2)若f(x)存在单调递增区间，

则当a>1,则函数t=−x2+ax−3存在单调递增区间即可,

则判别式△=a2−12>0得a>2√3或a<−2√3(舍),

当0<a<1,则函数t=−x2+ax−3存在单调递减区间即可,

则判别式△=a2−12>0得a>2√3或a<−2√3(舍)，此时a不成立，

综上实数a的取值范围是a>2√3.

8.已知函数f(x)=log1

2

(3−2x−x2) .

(1)求该函数的定义域;

(2 )求该函数的单调区间及值域.

【答案】(1)由3−2x−x2>0得x2+2x−3<0

∴ (x+3)(x−1)<0，∴−3<x<1，

∴f(x)的定义域为(−3,1).

(2)令u=3−2x−x2=−(x+1)2+4,则u在(−3,−1]上单调递增,在(−1,1)上单调递减。

又f(u)=log1

2

u在(0,+∞)上单调递减，

故f(x)在(−3,−1]上单调递减,在(−1,1)上单调递增。

∵u≤4, log1

2u≥log1

2

4=−2，

∴f(x)的值域为[−2,+∞).

9.已知函数f(x)=log3(1

3x)log3(27x),其中x∈[1

9

,3].

(1)求函数f(x)的值域;

(2)求函数f(x)的单调区间.

【答案】(1) f(x)=log3(1

3x)log3(27x)=(−1+log3x)(3+log3x), x∈[1

9

,3]

令t=log3x∈[−2,1], 则

g(t)=(−1+t)(3+t),t∈[−2,1]

=t2+2t−3

=(t+1)2−4,

当t=−1时: g(t)min=g(−1)=−4，

当t=1时: g(t)max=g(1)=0

函数f(x)的值域为: f(x)∈[−4,0];

(2)由t=log3x在x∈[1

9

,3]为增函数,并由(1)知g(t)=(t+1)2−4，在t∈[−2,1]为减函数,在t∈[−1,1]为增函数,

即当t∈[−2,1]时，此时x∈[1

9,1

3

],f(x)为减函数;

当t∈[−1,1]时, 此时x∈[1

3

,3], f(x)为增函数。

综上: f(x)单调减区间为: [1

9,1

3

], f(x)单调增区间为: [1

3

,3]

10.函数f(x)=(1

3

)x2−2x

(1 )求f(x)的单调增区间.

(2)x∈[−1,2]时,求f(x)的值域.

【答案】(1)令t=x2−2x, 则f(x)=ℎ(t)=(1

3

)t

∵ℎ(t)=(1

3

)t在定义域内单调递减，

t=x2−2x,在(−∞,1]单调递减, 在[1,+∞)单调递增，∴f(x)的单调递增区间为(−∞,1];

(2)由t=x2−2x,则f(x)=ℎ(t)=(1

3

)t

∵−1≤x≤2，

∴t∈[−1,3)，

∴ f(x)∈[1

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,3]