高等数学专升本模拟试题5

试试

专升本考试数学模拟试题（五）

一、选择题（每小题3分，共15分）

1.设 f(x)为( , )上的任意函数，则F(x) f(x) f( x)一定是（ ）

A. 偶 B. 奇 C. 非奇非偶 D. 恒等于零

2.函数y f(x)在x x0处连续是y f(x)在x x0处可微的条 件。 （ ）

A. 充分必要 B. 充分 C. 必要 D. 既不充分也不必要

3.过点M(2, 1,3)平行于x轴的直线方程是 （ ）

y 1 0 A. B. z 3 0

4.设 x 2 0 C. y 1 0 y 1 0 D. z 3 0 x 2 0 z 3 0f(x,y) 3x 2y，则f(xy,f(x,y)) （ ）

A. 3xy+6x B. 3xy+4y C. 3xy+3x+2y D. 3xy+6x+4y

5.下列命题正确的是 （ ）

A.在同一区间上单调增加的两个函数的和在该区间内仍为单增函数

B.单调函数的原函数必是单调的

C.若y f(x)在[a , b]上单调增加，则在(a , b)内f'(x) 0

D.单调函数的导数必为单调函数

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.函数y ln(x 4 3)的定义域为。

2.数列 1, 1111,, , 的极限是 24816

的收敛区间为 。 3.与平面x+y+z=1平行且过点(1,1,1)的平面方程为 xn4.幂级数 nn 12

5.设F(x)可微，则 dF(x)

三、计算题（每小题5分，共40分） 1 cos4x 1.lim2x 0sin(x)

试试

2.lim(1 x 22x)= x

y3.设方程y 1 xe

4.设z x3 x2确定函数y f(x)，求dy。 22y exy 2z sin(x y)，求其一阶偏导数及2 x。

5.计算由曲面z x

6.计算

7.计算

8.计算2 y2,x2 y2 1及平面z 0所围立体体积。 211dx 2x xxe sinxdx xe D2 y2d ，其中D为：D {(x,y)x2 y2 4}。

四、计算题（每小题6分，共12分）

1. 把函数f(x) ln(1 x)展开成x的幂级数。

n( 1) n 1 2. 判定级数1的敛散性。 n

五、解方程（每小题6分，共12分）

1.

2. xydx (x2 1)dy 0 y y 2

六、证明题（6分）

证明当x 1时，有arcsinx arccosx

2

试试

专升本考试数学模拟试题（五）

标准答案

一、1. B 2. C 3. C 4. D 5. A

二、1.（5，+∞） 2. 0 3. x+y+z=3 4. （-2，2） 5. F(x)+C

三、1.lim1 cos4x4sin4x ┈┈┈┈┈3分 lim22x 0x 0sin(x)2xcos(x)

2sin4x lim 8┈┈┈┈┈5分 x 0x

4x2 222x 2.lim(1 )=lim(1 )x x x x ┈┈┈┈┈3分

e 4 ┈┈┈┈┈5分

3.方程两边对x求导数

dydy 2x ey xey┈┈┈┈┈3分 dxdx

dy2x ey

dx1 xey

即 ┈┈┈┈┈4分 2x eydy dx┈┈┈┈┈5分 y1 xe

34.设z xy exy2 z sin(x2 y2)，求其一阶偏导数及2 x。

z 3x2y yexy 2xcosx(2 y2) x

z x3 xexy 2ycosx(2 y2)┈┈┈┈┈3分 y

2z2xy22222 6xy ye 2cos(x y) 4xsin(x y)┈┈┈ 5分 2 x

5.计算由曲面z x2 y2,x2 y2 1及平面z 0所围立体体积

试试

V

x2 y2 122(x y)dxdy┈┈┈┈┈2分

02 2r 0rdrd ┈┈┈┈┈4分 1141 2 r ┈┈┈┈┈5分 402

22111=dx( 1x x2 1xx 1)dx┈┈┈┈┈3分

2 = lnx lnx 1 ┈┈┈┈┈4分 16.

=2ln2 ln3┈┈┈┈┈5分

7. xxxxesinxdxsinxde esinx e= cosxdx┈┈┈┈┈2分

x =esinx cosxdex exsinx excosx exsinxdx┈┈┈┈3分 1xxesinxdx e(sinx cosx) c┈┈┈┈┈5分 2

2 8. xe D y2d 0

22 e12r2rdrd ┈┈┈┈┈3分

四、 1r2 2 e (e4 e)┈┈┈┈┈5分 21

1.把函数f(x) ln(1 x)展开成x的幂级数。

f (x) 1 1 x

( 1 x 1)┈┈┈┈2分 1 1 x x2 x3 ( 1)nxn 1 x

xn1x2x3

n 1x 0dx x ( 1) ( 1 x 1)┈┈┈┈4分 1 x23n

试试

11x 1时， ( )发散；x 1时， ( 1)n 1收敛。 nnn 1n 1

ln(1 x) ( 1)

n 1 n 1xnn( 1 x 1) ┈┈┈┈6分

2. 判定级数 ( 1)n

n 1 1的敛散性。 n

11 un un 1； nn 1

1limun lim 0 ┈┈┈┈4分 n n n

所以，由交错级数的审敛法知：原级数收敛。┈┈┈┈2分

五、

1. xydx (x2 1)dy 0

1xdy dx┈┈┈┈2分 2y1 x 分离变量得

12 积分得 lny ln x lnc ┈┈┈┈4分 2

c c y ┈┈┈┈6分 y 22 x x

2. y y 2

2 其特征方程为r

故设特解y* r 0；特征根为：r1 0,r2 1┈┈┈┈2分 Ax

* 代入原方程得A=-2; y

原方程通解为：y c1e

六、

arcsinx 2x┈┈┈┈4分 c2 2x┈┈┈┈6分 x arccosx在闭区间[-1，1]上连续，在开区间（-1，1）上可导。

试试

又(arcsinx arccosx)

由拉格朗日定理知：arcsin1 x2 1 x2 0┈┈┈┈3分 x arccosx c,x [ 1,1]┈┈┈┈4分 又 arcsin0 arccos0 ┈┈┈┈5分 2

arcsixn arccoxs

2, x 1,1 ┈┈┈┈6分