教材中一类不等式的教学设计_在_玩_中学习数学

2005年　第44卷　第7期数学通报29

教材中一类不等式的教学设计

———在“玩”中学习数学

王文清

(山东省滨州市教研室　256618)

　　2000年定居我国天津的美籍华人大数学家陈省身先生给青少年数学爱好者的题词是“数学好玩”.这充分表达了一位大数学家对数学的浓厚兴趣.还有的数学家说“数学是玩出来的”.这说明数学学习不应当是枯燥乏味的、晦涩难懂的,而应当是通过积极的智力参与,内容出发,在“玩”学、来的”同时,.“数学是玩出来的”中的“玩”不仅有“变式、变换、猜想、探索、推广、应用”的含义,而且要环环相扣,使数学学习变成一系列的“智力游戏”.下面以人教社全日制普通高级中学教科书(试验修订本 必修)数学第二册

(上)第六章不等式中的一类不等式的教学为例,看

ab

因为a,b是正数,所以am-bm与an-bn同号或同时为0,即(am-bm)(an-bn)Ε0.

即am+n+bm+n-(ambn+anm)Ε0.an+bm+namnm.,a,b+,a+bΕab+ab,这

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:a4b+ab4和a3b2+a2b3谁大谁小呢?

容易猜想:a4b+ab4Εa3b2+a2b3.(证明略).进一步可猜想:

推广2　如果a,b是正数,那么am+nbm+

mm+n

Εam+n-1bm+1+am+1bm+n-1(m,n∈N,nΕ

2)(当且仅当a=b时取“=”号).

推广3　如果a,b是正数,n∈N3,m>0,k>

0,且m+k=n,那么an+bnΕambk+akbm(当且仅

“数学是怎样玩出来的”.

本章中有下面的一组不等式:

11已知a,b是正数,且a≠b,求证:a3+b3>

ab+ab.

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当a=b时取“=”号).

推广1、推广2易证,这里从略.

2　在“玩”中得结论

21如果a,b是正数,且a≠b,求证:a6+b6>

ab+ab.

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若a,b,c是正数,则

a+bΕab+ab,a+cΕac+ac,b+

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2

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1　在“玩”中作推广

cΕbc+bc,

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如果将a2+b2Ε2ab写成a2+b2≥a1b1+

ab,结合a+b>ab+ab和a+b>ab+ab,略加比较很容易想到下面的一般结论:(以下

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2

2

6

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所以2(a3+b3+c3)Εa(b2+c2)+b(a2+c2)

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+c(a+b)Εa 2bc+b 2ac+c 2ab=6abc.

所以a3+b3+c3Ε3abc.于是,得

定理1　如果a,b,c是正数,那么a3+b3+c3Ε3abc,当且仅当a=b=c时上式取“=”号.

若a,b,c,d是正数,则

a+bΕab+ab,a+cΕac+ac,

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的推广我们在2000年全市的数学教学研讨会的公开课上已经出现).

推广1　如果a,b是正数,那么am+n+bm+nΕ

mnnm

ab+ab(m,n∈N)(当且仅当a=b时取“=”

号).

证明　am+n+bm+n-(ambn+anbm)=am(an-nmnnmmnnb)+b(b-a)=(a-b)(a-b).

a+dΕad+ad,b+cΕbc+bc,

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b+dΕbd+bd,c+dΕcd+cd.

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所以3(a4+b4+c4+d4)Εab(a2+b2)+