教材中一类不等式的教学设计_在_玩_中学习数学(2)

30数学通报　　　　　　　　　2005年　第44卷　第7期

+ac,b+cΕbc+bc,

2

3

3

2

2

2222222

ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+222d)+cd(c+d).

所以2(a3+b3+c3)Εa2(b+c)+b2(a+c)

2

+c(a+b).

Ε2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+

2c2d2

2222222222

=2(ab+cd)+2(ac+bd)+2(ad+22bc)

例2　(1997年美国奥林匹克题)设a,b,c∈

R+,证明:

b+c+abc

4

4

3

3

Ε4abcd+4abcd+4abcd=12abcd.所以a4+b4+c4+d4≥4abcd.

定理2　如果a,b,c,d是正数,那么a+b+

c+dΕ4abcd,当且仅当a=b=c=d时上式取

4

4

+

c+a+abc

3

3

+

a+b+abc

3

3

Φ

abc

.

3

“=”号.

由定理1和定理2可以猜想:

猜想1　如果a1,a2,a3,…,an(nΕ2)是正数,

nnnn那么a1+a2+a3+…+anΕna1a2a3…an,当且仅

+3

b+c+abc

+3Φ1.333

c+a+abca+b+abc

证明　原不等式Ζ

①

当a1=a2=a3=…=an时上式取”=”号.

对定理1中的字母作变换“a3→a,b3→b,c3→c”得

定理3,,bc3

3

Φ232

b+c+abcbc++abc

,ac

,3,3

a+b+cΦ.33

a+b+ca+b+abc

因为

3

abc,即

3

,a=b=c

将得到的以上三个不等式相加,即得不等式①.从而原不等式得证.

充分挖掘和发挥教材的各项育人功能,在教育界已经达成共识.找准“生长点(知识的、方法的、能力的)”使学生通过积极的智力参与,在“变化、类比、猜想、探索、推广、应用”———“玩”中,掌握数学基础知识,建立数学知识之间的联系,形成良好的数学知识结构,学会探索、推广数学问题的方法,学会创新.在“玩”中学习数学,不仅能使学生弄清数学知识之间的来龙去脉,学会做数学,而且能提高学生对学习数学的兴趣,培养学生的数学能力,发展学生的智力,直到达到“变难学为易学”“变不会学为会学”“变苦学为乐学”“变厌学为爱学”的目标.让我们乘着新课改的东风,使学生在“玩”中学习数学,在感受“数学是玩出来的”同时,实现“数学好玩”的目标吧!

参考文献

时上式取”=”号.

对定理2中的字母作变换“a4→a,b4→b,c4→c,d4→d”得

定理4　如果a,b,c,d是正数,那么a+b+c

+dΕ4

4

abcd,即

4

n

Ε

4

abcd,当且仅

n

n

当a=b=c=d时上式取“=”号.

对猜想1中的字母作变换“a1→a1,a2→a2,a3→a3,…,an得n→an”

猜想2　如果a1,a2,a3,…,an(aΕ2)是正数,那么a1+a2+a3+…+anΕn

Ε

n

n

n

1a2a3…an即

1a2a3…an,当且

仅当a1=a2=a3=…=an时上式取“=”号.

3　在“玩”中学应用

例1　已知a,b,c是不全相等的正数,求证:

2(a3+b3+c3)Εa2(b+c)+b2(a+c)+c2(a

+b).(第六章复习参考题第四题).

1　李秀元.由教材例习题引发的思考.中学数学教学参考,2004,3

2

3

3

2

证明　因为a+bΕab+ab,a+cΕac

3

3

2

2　徐文兵.用“零件不等式”证明一类带界的分式不等式.数学

通讯,2003,5