常见分布的期望与方差的计算(3)

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n

( n 1)!= np∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n

= np[ p+ (1 p )]n 1=

np

E ( X 2 )= E[ X ( X 1)+ X]= E[ X ( X 1)]+ E ( X ) k k=∑ k ( k 1) p (1 p )n k+ np n k=0n

k ( k 1)n! k p (1 p )n k+ np=∑ k= 0 k !( n k )!n

( n 2)!= n( n 1) p∑ p k 2 (1 p)( n 2 ) ( k 2 )+ np k= 2 ( n k )! ( k 2)!2 n

= n( n 1) p 2[ p+ (1 p )]n 2+ np= ( n 2 n) p 2+ np.

D( X )= E ( X 2 ) [ E ( X )]2= ( n 2 n) p 2+ np ( np )2

= np(1 p )

3.泊松分布设 X~π(λ ),且分布律为

P{ X= k}=

λkk!∞

e λ, k= 0,1,2,",λ> 0.

则有

E( X )=∑ k k=0

λkk!

e λ= e λ∑k=1

∞

λ k 1( k 1)!

λ

=λe λ eλ

=λ

E ( X 2 )= E[ X ( X 1)+ X]

= E[ X ( X 1)]+ E ( X )=∑ k ( k 1) k=0+∞

λ

k

k!

e λ+λ+λ=λ 2e λ eλ+λ=λ 2+λ .

=λ 2e λ∑ k=2

+∞

λk 2( k 2)!

所以 D( X )= E ( X 2 ) [ E ( X )]2=λ2+λ λ2=λ

泊松分布的期望和方差都等于参数λ .

4.均匀分布设 X~ U (a, b ),其概率密度为 1, f ( x)= b a 0,∞

a< x< b,其他 .b

1 1 E ( X )= xf ( x ) d x= x d x则有= (a+ b).∫ ∞∫a b a 2 D( X )= E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1 a+ b (b a ) 2=∫ x dx = a b a 2 12b

2

2

5.指数分布设随机变量 X服从指数分布,其概率密度为

1 xθ e, f ( x )= θ 0,

x> 0, x≤ 0.+∞

其中θ> 0.1 xθ x e dxθ

则有E ( X )=∫ xf ( x ) d x=∫ ∞+∞0

= xe2

xθ+∞ 0 2

+∫ e xθ d x0+∞ 2

+∞

=θ

D( X )= E ( X ) [ E ( X )]=∫0= 2θ 2 θ 2

1 xθ x e d x θ2θ

=θ2

6.正态

分布设 X~ N (μ,σ 2 ),其概率密度为1 f ( x)= e 2πσ( x μ )2 2σ 2

,σ> 0, ∞< x<+∞ .

则有

E ( X )=∫ xf ( x ) d x ∞

+∞

1=∫ x e ∞ 2πσ+∞

( x μ )2 2σ 2

d x.

x μ令= t x=μ+σ t,σ

所以

1 E( X )=∫ x e ∞ 2πσ+∞

( x μ )2 2σ 2

dx

1+∞= (μ+σt)e∫ 2π ∞ 1=μ e∫ 2π=μ.t2+∞ 2 ∞

t2 2

dtt2 2

σ+∞ dt+ te∫ 2π ∞

dt

D( X )=∫ ( x μ ) f ( x ) d x2 ∞

+∞

1=∫ ( x μ) e d x. ∞ 2πσ x μ令= t,得σ t2 2 +∞σ 2 2 D( X )= t e dt∫ 2π ∞+∞ t2 t2 2 +∞ σ 2 2= te+∫ e dt ∞ 2π ∞ 2σ= 0+ 2π=σ 2 . 2π+∞ 2

( x μ )2 2σ 2

分

布

参数0< p<1 n≥ 1, 0< p<1λ>0a<b

数学期望p np

方差p(1 p )np(1 p )

两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布

λθ

λθ2

(a+ b ) 2 (b a )2 12μ

θ>0μ,σ> 0

σ2