机器人 速度运动学

《机器人原理与应用》

第五章速度运动学授课教师：闻时光东北大学人工智能与机器人研究所

2011/7/4

第五章速度运动学

本章将进一步讨论运动的几何学及与时间有关的量，即讨论机器人的速度运动学问题。速度运动学问题重要是因为操作机不仅需要达到某个 (或一系列的)位置，而且常需要它按给定的速度达到这些位置。主要内容： 5.1操作机的微分移动 5.2微分转动的两个定理 5.3微分算子 5.4雅可比矩阵及其变换 5.5雅可比矩阵的力学意义

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第五章速度运动学

5.1操作机的微分移动所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的移动和无限小的转动。它既可以用指定的当前坐标系来描述，也可以用基础坐标系来描述。对于微分移动(平动)的齐次变换矩阵T可表示为 1 0 Trans (dx, dy, dz )= 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy 1 dz 0 1

式中 dx, dy, dz是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的分量。2011/7/4 3

第五章速度运动学

5.2微分转动的两个定理 若绕x轴转微小θ角表示为δ x,并考虑，sinδ x=δ x cosδ x= 1则对x,y,z多轴微分转动的齐次变换矩阵R应该有如下形式： 1 0 0 1 Rot ( x,δ x )= 0δ x 0 0 0 δ x 1 0 0 0 0 1

1 0 Rot ( y,δ y )= δ y 0 δ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0δy 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1

1 δ Rot ( z,δ z )= z 0 0

z

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第五章速度运动学

1 δ z δδ+δ 1 δ xδ yδ z z x y Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y ) Rot ( z,δ z )= δ y+δ xδ zδ yδ z+δ x 0 0

δy δ x 1 0

0 0 0 1

1 δ= z δ y 0

δ 1δx 0

z

δy δ x 1 0

0 0 0 1

上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。

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第五章速度运动学

定理1绕任意单位向量 K=[K x, K y, K z]T转动δθ的微分转动等δδ效于绕轴x,y,z的3个微分转动δ x, y, z,并有_

δ x= K xδθ

δ y= K yδθ

δ z= K zδθ

于是总的转动微分 Rot ( K,δθ )可由如下的齐次矩阵描述 Rot ( K,δθ )= Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y ) Rot ( z,δ z ) 1 Kδθ= z K yδθ 0 K zδθ 1 K xδθ 0 K yδθ K xδθ 1 0 0 0 1 0

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第五章速度运动学

定理2

微分转动与微分转动的次序无关0 δ x 1 0δ xδ y 1δx 0

证明：取以下的两个相继微分转动，则有 1 0 0 1 Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y )= 0δ x 0 0 1 0 Rot ( y,δ y ) Rot ( x,δ x )= δ 0

y

0 1 0 0 0

δ y 1 0δ y 0 δ x 0 1 0 0 1

0δy 1 0 0 1 0 0

0 1 0 δ xδ y = 0 δ y 1 0

0 1δx 0

δy δ x 1 0

0 0 0 1

略去二阶无穷小量后得：Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y )= Rot ( y,δ y ) Rot ( x,δ x )2011/7/4 7

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5.3微分算子已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述，经过微分运动后变为T+dT。应用相对于基础坐标系的左乘法则，T+dT可以表示为：

T+ dT= Trans (dx, dy, dz ) Rot ( K, dθ )T得

dT=[Trans (dx, dy, dz ) Rot ( K, dθ ) I]T 0 δ= z -δ y 0 δ z 0δx 0δy -δ x 0 0 dx dy dz 0

定义微分算子 = Trans (dx, dy, dz ) Rot ( K, dθ ) I

得2011/7/4

dT= T

第五章速度运动学 0 1 T= 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 5 2 , 0 1

例：设操作机的位姿为

求先实施转动 Rot (x,0.1),再实施移动 Trans (1,0,0.5)的微分运动dT,以及其后操作机的新位姿T+dT。

δδ解：由于δ x=0.1,dx=1; y=0,dy=0; z=0,dz=0.50 1 0 0 0 0 0.1 0 = 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0

由定义式得：

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则

0 1 0 0 0 0 0 0.1 0 1 dT= T= 0 0.5 0 0 0.1 0 0 0 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

5 0 0 2 0 0.1 = 0 0.1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0.7 0 0

操作机实施微分运动后的新位姿为： 0 1 T+ dT= 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 5 0 0 2 0 0.1 + 0 0.1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0.1 = 0 0.7 0.1 1 0 0 0 0 1 6 0 2 0 0.7 0 1

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5.4雅可比矩阵及其变换5.4.1雅可比矩阵考虑操作机的手爪位姿 r和关节变量θ的关系用正运动 r学方程= f (θ )表示的情况。对于6关节的操作机 r= f (θ ),有

r1= f1 (θ1,θ 2 ....θ 6 ),……,r6= f 6 (θ1,θ 2 ....θ 6 )

dθ dr=J dt dt到基坐标速度的变换。2011/7/4

f (θ1,θ 2, θ 6 ) J= θ T

J即为著名的雅可比矩阵。通过 J可以实现从关节速度

第五章速度运动学

f1 f1 θ θ 展开为： J= 1 2 f 6 f 6 θ θ 2 1

f1 θ 6 = J ij f 6 θ 6

[]

6× 6

f i J ij= θ j

同样对于m×n维的空间的机器人，其雅可比矩阵 f1 f1 θ θ 2 1 J= f m f m θ θ 2 12011/7/4

f1 θ n = J ij f m θ n

[]

m× n

ωn

第五章速度运动学

雅可比矩阵的一

般形式：一般地,对于n个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速度，在基坐标系中的描述记为ωn,ν n。如果写成一个向量

ν n x= ωn 具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式

x= J (Θ)Θ其中,Θ为n×1的机械手关节(旋转或平移关节)的位移向量。雅可比矩阵J(Θ)表明了机械手关节速度与末端(手爪)直角坐标速度之间的线性变换关系。2011/7/4 13

第五章速度运动学

5.4.2雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时,雅可比矩阵J(Θ)为6×6方阵。如果 J(Θ)可逆,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度,就可以求得相应的关节速度

= J 1 (Θ) x Θ但是,雅可比矩阵J(Θ)是随着机械手的形态变化的,某些形态下的Θ值就可能使J(Θ)成为奇异,这时的机械手末端位置称之为机械手的奇异点。当机械手处于奇异形态时,它在直角坐标空间的自由度就有所减少,这意味着在直角坐标空间的某些方向上,无论选取什么样的关节速度,机械手都不能沿着那些方向运动。奇异点可能处于机械手工作空间的边界或工作空间内部。2011/7/4 14

第五章速度运动学

5.4.3θ r操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵 x r 根据雅可比矩阵的定义式有： = J y θ

θ r操作机 x= r cosθ对于 y= r sinθ

则

cosθ J= sinθ

r sinθ r cosθ

x cosθ y = sinθ 2011/7/4

r sinθ r r cosθ θ 15

第五章速度运动学

求雅可比逆矩阵由θ r操作机几何关系得： r 2= x 2+ y 2对 t求导得另外，有对 t求导得

x y x y 1 x+ y= 2 x+ 2 yθ = 2 2 r r r 2 r x 2 x 2 x x

x y r= x+ y r r 1 r y secθ== tgθ=xcosθ

则

x r r θ = y r2

y r x x y r2

x r 1 J= y 2 r

y r x 2 r 16

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第五章速度运动学

例5-1试求图所示的2自由度机械手的雅可比矩阵解：Y L2θ 2 L1 o

x= L1c1+ L2c12 y= L1s1+ L2 s12 x x= L1 s1 L2 s12,= L2 s12 θ 1 θ 2 y y = L1c1+ L2 c12,= L2 c12 θ 1 θ 2

θ1X

L1 s1 L2 s12得 J= L1c1+ L2 c12

L2 s12 L2 c12

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第五章速度运动学

5.4.4

雅可比矩阵的物理意义 r Y J 2θ 2 PE,1 L1 J1θ 1 PE, 2

以上述例题为例：将雅可比矩阵定义为列向量 J=[J1, J 2]有Ji∈ R2×1

r= J1θ 1+ J 2θ 2π

L2

θ2关节2

J1和 J 2分别为 PE1和 PE 2

反

时针转动

2

而成。

关节1

θ1

X

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第五章速度运动学 x r r例5-2:已知： θ = y r2 y r x x y ,当手部沿着y=1的直线以均速 2 r θ r, 表示为 x的函数。

x= 1运动，试将

解：已知 y= 1,则 y= 0,又知 x= 1,则由已知矩阵式可知

r=

x x= r

x x2+ y2

x=

x x2+ 1

θ =

y y 1 x= 2 x= 2 r2 x+ y2 x+1

分析：当x=0时,θ =θ max= 1。又因为已假设了y=1,以致 r≠ 0,即操作机手臂长度不为零，上式分母不为零，不会出现奇异问题。2011/7/4 19

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由以上分析可以得出两点结论：θ (1)对于 J,当 r趋于 0时， r操作机出现奇异问题。此时操作机失控，即遇到速度趋于无穷大的困难。此时， 若 x或 y为有限值时， r和θ趋于无穷大。事实上 r= 0的条件是很容易辨别和避免的； 1

(2)由以上θ r操作机的雅可比矩阵及其逆阵的推导可以看出，当操作机具有6关节时，雅可比矩阵的推导将会更加复杂。

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5.5雅可比矩阵的力学意义类似于速度的雅可比矩阵形式,我们也可以得到一个力域中的雅可比矩阵形式,而且可以证明,在此,速度雅可比矩阵是以转置的形式出现的

τ= J (Θ)ξT

其中,τ为n×1向量,表示n个关节上的平衡力/平衡力矩,而ξ为作用在手爪上的直角坐标力/力矩形成的6×1向量。因此,实际上 J T (Θ)表示把手爪上的直角坐标力/力矩映射为等价的关节力/关节力矩。2011/7/4 21