金属塑性变形理论第28讲_-本构方程

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金属塑性变形理论 第十讲 Lesson Ten张贵杰Zhang GuijieTel:0315-2592155 E-Mail: zhguijie@

河北理工大学金属材料与加工工程系 Department of Metal Material and Process Engineering Hebei Polytechnic University, Tangshan 063009

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Lesson 10

第十二章 变形力学方程主要内容Main Content

力平衡微分方程 屈服条件 应力应变关系方程 等效应力、等效应变 平面变形和轴对称变形2011-11-9 2

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12.3 应力应变关系方程塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系， 塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系， 其数学表达式称为本构方程 物理方程。 本构方程或 其数学表达式称为本构方程或物理方程。

σ ij = f ij (ε x , ε y , ε z , ε xy , ε yz , ε zx )

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12.3.1 弹性变形时的应力应变关系弹性变形的特点应力与应变完全成线性关系， 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与 全量应变主轴重合 弹性变形是可逆的，与应变历史( 弹性变形是可逆的，与应变历史(加载过程 无关) 无关),应力与应变之间存在统一的单值关 系 弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化， 弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化， 泊松比小于0.5 泊松比小于2011-11-9 4

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虎克定律σ = Eε τ = 2GγG=

E:弹性模量 ： v:泊松比 ：

广义虎克定律1 ε x = σ x ν (σ y + σ z ) E 1 ε y = σ y ν (σ z + σ x ) E 1 ε z = σ z ν (σ x + σ y ) E

E 剪切模量 2(1 +ν )

[

]]

[

]

[

1 ε xy = τ xy 2G 1 ε yz = τ yz 2G 1 ε zx = τ zx 2G5

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1 1 由 ε x = σ x ν (σ y + σ z ) = E σ x ν (σ x + σ y + σ z ) +νσ x E 1 +ν 3ν = σx σm E E 而 1 2ν εm = σm E

[

]

[

]

则 即

εx εm

1 +ν 3ν 1 2ν 1 +ν (σ x σ m ) = σx σm σm = E E E E 1 +ν (σ x σ m ) = 1 σ ′x E 2G6

εx εm =

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同理

1 +ν 1 (σ y σ m ) = σ ′y ε y εm = E 2G 1 +ν (σ y σ m ) = 1 σ ′z εz εm = E 2G

所以广义虎克定律可写成求和约定的形式1 1 2ν ′ ε ij = σ ij + σ m δ ij 2G E2011-11-9

克罗内克儿记号

1, i = j δ ij = 0, i ≠ j7

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弹性变形的比列及差比形式ε ′ ε ′ ε ′ ε xy ε yz ε zx 1 y x z = = = = = = σ ′ σ ′ σ ′ σ ′ σ ′ σ ′ 2G x y z xy yz zx εx εy εy εz 1 ε z ε x ε xy ε yz ε zx = = = = = = σ x σ y σ y σ z σ z σ x σ ′ σ ′ σ ′ 2G xy yz zx

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广义虎克定律的矩阵形式 ε x 1 ν ε ν 1 y ε z 1 ν ν = 0 ε xy E 0 ε 0 0 yz 0 0 ε zx 2011-11-9

ν ν 1 0 0 0

σ x σ y 0

0 0 σ z (1 +ν ) 0 0 τ xy 0 (1 +ν ) 0 τ yz 0 0 (1 +ν ) τ zx 0 0 0 0 0 09

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12.3.2 塑性变形时的应力应变关系塑性变形的特点体积不变，泊松比v=0 体积不变，泊松比v=0.5 v= 应力、 应力、应变为非线性关系 全量应变与应力主轴不一定重 合 塑性变化不可逆——无单值一 塑性变化不可逆 无单值一 一对应关系——与加载路径有 一对应关系 与加载路径有 关 对于应变硬化材料， 对于应变硬化材料，卸载后的 屈服应力比初始屈服应力高2011-11-9 10

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应变增量与小变形及大变形的关系应变增量 dε 与小变形 ε 数值大小处于同一 数量级，都属于无穷小量； 数量级，都属于无穷小量； 大变形是对应变增量进行积分获得的

εdε2011-11-9

∫ dε11

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塑性变形时应力与应变的关系增量理论 Prantl—Reuss理论 理论 Levy—Mises理论 理论 全量理论 Hencky小变形理论 小变形理论

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Prantl—Reuss理论 理论基本观点 应力与应变的位向关系塑性应变增量主轴与应力主轴一致 塑性应变增量主轴与应力主轴一致

应力与应变的分配关系在任意加载瞬间， 在任意加载瞬间，塑性应变增量各分量 与该瞬时 瞬时相应的各偏差应力分量成比例 与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例2011-11-9 13

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数学表达式dε或p x

σ′ x

=

dε yp

σ ′yp ij

=

dε

σ′ z

p z

=

p dε xy

τ xy

=

p dε yz

τ yz

=

p dε zx

τ zx

= dλ

′ dε = dλ σ ij

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对P—R理论的解释 理论的解释 应变增量主轴与应力主轴重合的含义： 应变增量主轴与应力主轴重合的含义：若在 某一方向加载 σ 1 ,则在该方向必产生 dε 1 应力与应变增量分配关系的含义： 应力与应变增量分配关系的含义：把塑性应 变增量与应力在数学上联系起来 dλ 是一个非零非负的瞬时比例系数，dλ = 0 , 是一个非零非负的瞬时比例系数， 时 dλ <,无实际情况与其 表示弹性变形， 表示弹性变形， 时0 对应。 对应。2011-11-9 15

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Prantl—Reuss方程 方程总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和， 总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和， 即 e dε ij = dε ij + dε ijp 1 1 2ν ′ ′ =( dσ ij + dσ mδ ij ) + σ ij dλ又2G E

′ dε ij = dε ij + dε mp ′ = (dε ij )e + (dε ij )p = (dε ij )e + dε ijp δ ij dε m ′ ′ ′ dε ij

而2011-11-9

p dε m = dε xp + dε yp + dε zp = 016

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1 ′ ′ ′ dε ij = dσ ij + σ ij dλ 2G该式称为Prantl—Reuss方程，建立了 方程， 该式称为 方程 偏差变形增量与偏差应力之间的关系

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适用范围 该理论适用于弹

塑性问题，即塑性变形很小， 该理论适用于弹塑性问题，即塑性变形很小， 与弹性变形处于同数量级， 与弹性变形处于同数量级，而不能忽略弹性 变形。 变形。

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Levy—Mises理论 理论基本观点 应力与应变的位向关系塑性 应变增量主轴与应力主轴一致 应变增量主轴与应力主轴一致

应力与应变的分配关系在任意加载瞬间，应变增量各分量与该 在任意加载瞬间，应变增量各分量与该 瞬时相应的各偏差应力分量成比例 瞬时相应的各偏差应力分量成比例2011-11-9 19

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数学表达式dε x dε y dε z dε xy dε yz dε zx = = = = = = dλ σ′ σ′ σ′ τ xy τ yz τ zx x y z或

′ dε ij = dλ σ ij

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对L—M理论的说明 理论的说明 理论相比， 与Prantl—Reuss理论相比， Levy—Mises理 理论相比 理 论只适用于大塑性变形问题； 论只适用于大塑性变形问题； 又称为Levy—Mises流动法则； 流动法则； 又称为 流动法则 同样用于应变速率dε ij dλ & ′ & ′ = ε ij = σ ij = dλσ ij dt dt

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