第二章 插值法(5)

数值分析中对插值法的简单讲义

Rn x 0至少有n+1个根，可以写成

n

Rn x K x x xi K x n 1 x

i 0

——要求Rn x 需求K x

任意固定x xi,i 0,1, ,n（估计x点的误差），构造变量为t的函数

t Rn t K x t xi —— 此时，K x 为与t无关的常量！

i 0n

t 0有n+2个根，分别为x0,x1, ,xn,x，故 t 在[a,b]上有n＋2个零点；

由罗尔定理， t 在 t 的两个零点之间至少有一个零点，故 t 在[a,b]上有n＋1个零点；（注意： t 是对t求导）

同理， t 在[a,b]上有n个零点， 中间步骤：（注意，对t求导！）

n n 1 n 1

t Rn t K x t xi

i 0

n 1

n 1

t 在[a,b]上有1个零点。

n 1

n 1

t

f

n 1

t Ln

n 1

n t K x t xi

i 0

n 1

Ln t 为n次多项式，故而Ln t 为0。因此，

n 1

t

n 1

f

n 1

t n 1 !K x

f

n 1

因此记做：

n 1

n 1 !K x 0

于是：K x

f

, a,b 且依赖于x。

n 1 !

f

故：Rn x K x n 1 x

n 1 x

n 1 !

n 1

余项表达式只有在f x 的高阶导数存在时才能应用，又因为 a,b 的具体位置通常不可能给出，因此常计算Ln(x)逼近f x 的截断误差限：

Rn x

Mn 1

n 1 !

n 1 x ， 其中 Mn 1 maxf

a x b

n 1

x 。