第11讲 单因素方差分析

第12章 连续变量的统计推断 (二)――单因素方差分析

12.1 方差分析入门

12.1 方差分析入门为什么要进行方差分析 方法原理 单因素方差分析的应用条件 单因素方差分析的SPSS实现

12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4

12.1.1 为什么要进行方差分析

在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理 方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验 条件下样本均值间的差异 方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具 有统计意义的一种方法。例如

医学界研究几种药物对某种疾病的疗效； 农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作 物产量的影响 不同饲料对牲畜体重增长的效果等

都可以使用方差分析方法去解决

12.1.2 方法原理

方差分析的相关概念：上述农作物产量、广告效果等最终效果 的变量被称为观测因素，或称为观测变 量； 影响观测变量的因素称为控制因素，或 者控制变量； 控制变量的不同类别，称为控制变量的 不同水平。

12.1.2 方法原理方差分析就是从观测变量的方差入手， 研究诸多控制变量中哪些是对观测变 量有显著影响的，其不同水平及各水 平的搭配是如何影响观测变量的； 方差分析认为，影响观测变量值变化 的有两类：

一类是控制变量的不同水平带来的影响； 一类是随机因素的影响，主要指抽样误差；

12.1.2 方法原理

方差分析认为：如果观测变量在控制变 量各个水平上波动大，则控制变量对观 测变量有重大影响，波动不大则是随机 因素造成的； 衡量是否产生明显波动是通过检验观测 变量在控制变量各水平上的分布是否出 现了显著差异来实现的，如果有差异就 有波动，反之没有；

12.1.2 方法原理

在下述条件下，可以将分布的差异变成均值 的差异：

观测变量总体服从正态分布； 观测变量各总体方差应该相同；

总之，方差分析从观测变量的方差入手，检验 均值是否显著差异，分析控制变量是否给观测 变量显著影响，进而对控制变量各水平对观测 变量影响程度进行分析； 方差分析可分为单因素、多因素方差和协方差 分析

单因素方差分析的基本原理

单因素方差分析用来研究一个控制变量 的各个水平是否对观测变量产生显著影 响； 例子：

不同施肥量是否对农作物产量带来显著影响； 考察地区差异是否影响妇女生育率；

都可以通过单因素方差分析得到结论；

单因素方差分析的基本原理

例12.3 打开SPSS自带文件Cars.sav,其 中变量mpg的含义为每加仑汽油可以行 驶的里程数(简单理解为耗油量),现在希 望

比较产自美国，日本，欧洲的汽车， 考察其每千米耗油量有无差异。

Cars.sav数据表

单因素方差分析的基本原理

该问题是考察产地这一因素的变化对汽 车耗油量是否有显著性影响。因此，这 个问题属于单因素方差分析。 通常把产地看作一个因素，记为A因素， 它有3个不同水平记为A1,A2,A3. 耗油量称为试验指标，记为y,第 i 产地 在第 j 次试验下的耗油量用yij表示。

单因素方差分析的基本原理

一般地，单因素方差分析 问题是：设某个因素A有k 个不同水平A1,… ,Ak. 1 每个水平下重复进行ni次 试验，得到ni(i=1,2, … ,k) 2 个试验指标。总样本量 … N=sum(ni) 问因素A的变化对试验指 … 标y是否有显著性影响试验号

水平

A1 A2 … Ak

y11 y21 … yk1y12 y22 … yk2 … … … …y1,n1 y2,n2 … yk,nk

单因素方差分析的基本原理

设 i 表示在水平Ai下试验指标y的真实平均值， 则在Ai下每次试验结果yij应该是在真实平均值 ij 的左右随机波动，这个随机波动记为 方差分析模型为

诸 ij 相互独立且 ij ~ N (0, ) , i, 为未知 研究因素的影响是否显著，归结为k个总体是 否具有相同的均值，即检验假设：2

yij i ij , i 1,..., k ,

j 1,..., ni2

H0: 1 2 k .

单因素方差分析的基本原理

所有数据的偏差平方和 SST ( yij y)2i 1 j 1

k

ni

总平方和=组间平方和+组内平方和k k ni 2 2 i 1 i 1 j 1

SST SSB SSw ni ( yi y) ( yij y i )

组间平方和是由A发生变化引起的，反映 总体均数之间的差异。 组内平方和是由随机因素引起的差异。

单因素方差分析的基本原理

理论上，SST 有自由度 n-1,SSB有自由 度 k-1,SSW 有自由度 n-k,在正态分布 的假设下, 如果各组均值相等(原假设), MS B SS B /(k 1) 则统计量 F MSW SSW /(n k ) 服从自由度为 k-1 和n-k 的F 分布。对于 给定样本， SST确定，如果原假设成立， SSB偏小，由分解知SSW偏大，故F偏小。

单因素方差分析的基本原理

反之，如果F偏大，在 SST确定的情形下， SSB偏大，由分解知SSW偏小，从而原假 设不成立。因此可以使用F统计量来判断 假设是否成立。 根据F分布计算p值：p=Sig.=P(F>F值) 若p<alpha,拒绝原假设，认为因素A对 试验指标有显著性影响。通常当p<0.01 时，称有非常的显著影响。

单因素方差分析的基本原理

方差分析中常常将所计算出的指标形成 方差分析表(Analysis of Variance Table)变异来源 组间变异 自由度 (Sum of Squares) (df) 偏差平方和 SSB k-1 均方(Mean Square)

F值 (F)

P值 (Sig.

)

(Between Groups)

MSB=SSB/(k-1)

MSB/MSW P(F>F值)

组内变异(Within Groups)

SSW

n-k

MSW=SSW/(n-k)

总变异(Total)

SST

n-1

12.1.3单因素方差分析的应用条件

可比性

若资料中各组均数本身不具可比性则不适用 方差分析。 即偏态分布资料不适用方差分析。 对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方 根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等变 量变换方法变为正态或接近正态后再进行方 差分析。

正态性

12.1.3单因素方差分析的应用条件 方差齐性

即若组间方差不齐则不适用方差分 析。 多个方差的齐性检验可用Bartlett 法，它用卡方值作为检验统计量， 结果判断需查阅卡方界值表。

12.1.4单因素方差分析的SPSS实现

Analyze Compare Means One-Way ANOVA Dependent List:mpg Factor:origin Options:

Descriptive:描述统计量 Homogeneity of Variance:方差齐次性检验 Mean Plot:均值分布图

12.1.4单因素方差分析的SPSS实现

方差齐性检验表明：p>0.90,可认为样 本所来自的总体满足方差齐性的要求。Test of Homogeneity of Variances Miles per Gallon Levene Statistic .106 df1 2 df2 394 Sig. .900