张量分析在弹性力学中的应用(3)

简单的介绍张量在弹性力学中的应用

xy 1

( ) yz xy x xEG

yz1

( ) （6） yyxz yz EG

zx1

( ) xy zx zE z

G

2.3 将弹性力学中的基本方程用张量表示

利用应力张量，受力物体的平衡微分方程可简化为： ij,j fi 0 （7） 利用应变张量，受力物体的几何方程可以简化为： ij （8）

物体的本构方程可以表示为： ij （9）

式中， ij为Kronecker符号， 11 22 33 x y z。

将式（4）、式（5）和式（6）与（7）、式（8）和式（9）进行对比，我

们可以发现将张量形式引入到弹性力学后，基本方程的表达式明显得到简化，当然简化的前提是我们对张量表示的应力、应变状态以及相应的张量计算规则达到一定的熟

通过将用张量形式表达后的弹性力学基本方程与原方程进行对比，可以发现张量的引入可以使得弹性力学中的相关表达式得到很大的简化，所表达的物理含义更加明显。

利用张量，推导了弹性体的弹性应变能函数。弹性应变能函数取决于物体的偏应力张量和球应力张量。

1

ij ij EE

1

ui,j uj,i 2