第二类曲线积分的计算(复习知识)

练题 1 第二类曲线积分的计算

作者：钟家伟 指导老师：张伟伟

摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言

本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。

1.1 第二类曲线积分的概念

介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。

1.2第二类曲线积分的计算方法

介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。

2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功

一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,

求力()y x F , 所做功W .

大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为

W =AB F ⋅ . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分

成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记

小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割

},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n

i S T ∆=≤≤.