中南大学,高等数学,微积分,课件
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一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)
.
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
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例1 求由方程y 的导数
xy e ex
y
0 所确定的隐函数
dy dx
,
dy dxx 0
.
解
方程两边对
x 求导 ,x
y x
dy dx
ee
e yy
y
dy dx
0
解得 dy dx
dy dx
x
x eex
,
由原方程知
x 0, y 0,
x 0
yy x 0 y 0
x e
1.
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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2
, 并证明曲线
C 在该点的法
解
方程两边对
y
3 3 ( , ) 2 2
y x2
2
y x
(
3 3 , ) 2 2
1.
所求切线方程为 y 法线方程为 y 3 2
3 2
( x 3 2
3 2
)
即 x y 3 0.
x
即 y x,
显然通过原点.
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例3 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 .
解
方程两边对3
x 求导得3
4 x y xy 4 y y 0代入 x 0 , y 1 得y x 0 y 1
(1 ) 1 4 ;
将方程 ( 1 ) 两边再对 x 求导得
12 x 2 y x y 12 y ( y ) 4 y y 02 2 2 3
代入 x 0 , y 1 , y
x 0 y 1
1 4
得
y
x 0 y 1
1 16
.
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二、对数求导法观察函数 y ( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x
,
y x
sin x
.
方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:多个函数相乘和幂指函 数 u( x )v(x)
的情形 .
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例4 设 y
( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x
, 求 y .
解 等式两边取对数得ln y ln( x 1 ) 1 3 ln( x 1 ) 2 ln( x 4 ) x
上式两边对y y 1 x 1
x 求导得1 3( x 1) 2 x 4 1
y
( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x
[
1 x 1
1 3( x 1)
2 x 4
1]
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例5 设 y x sin x ( x 0 ), 求 y .
解
等式两边取对数得上式两边对1 y
ln y sin x ln x
x 求导得1 x
y cos x ln x sin x
y y (cos x ln x sin x xsin x
1 x
)
(cos x ln x
sin x x
)
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一般地f ( x ) u( x )v( x)
( u( x ) 0)
ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )又 d dx ln f ( x ) 1 d f ( x)
f ( x ) dx
f ( x ) f ( x )
d dx
ln f ( x )
f ( x ) u( x )
v( x)
[v ( x ) ln u( x )
v ( x )u ( x ) u( x )
]
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三、由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t, 2 y t ,
2
例如 y t
t x2
x 2 y
消去参数 t1 2 x
( ) 2 42
x
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x (t ) 在方程 中, y (t )
设函数 x ( t ) 具有单调连续的反函数 y [ 1
t
1
( x ),
( x )]
再设函数
x ( t ), y ( t ) 都可导 , 且 ( t ) 0 ,
由复合函数及反函数的求导法则得dy dx dy dt dt dx dy dt 1 dx dt
( t ) ( t )
dy 即 dt dx dx dt dy
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x (t ) 若函数 二阶可导 , y (t )
d y dx2
2
( t ) dt ( ) ( ) dt ( t ) dx dx dx
d
dy
d
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )2
1
( t ).
即
d y dx2
2
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )3
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x a ( t sin t ) 例6 求摆线 在 t 处的切线 2 y a ( 1 cos t )方程 .dy
解
dt a sin t sin t dx a a cos t 1 cos t dx dy dt
dy dxt 2
sin
2 2 1.
1 cos
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当 t
2
时 , x a(
2
1 ), y a .
所求切线方程为y a x a(即 y x a(2
2
1))
2
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例7 不计空气的阻力 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t sin gt , 2 求 ( 1 ) 炮弹在时刻 ( 2 ) 炮弹在时刻
, 以初速度 v 0 , 发射角
发射炮弹 , 其运动方程为
t 0的运动方向 t 0的速度大小y
; .vyv0
解 ( 1 ) 在 t 0时刻的运动方向即轨迹在 t 0时刻的切线方向 可由切线的斜率来反映 . ,o
v vx
x
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dy dx
( v 0 t sin
1
gt ) 2
2 ( v 0 t cos )
v 0 sin gt v 0 cos
dy dxt t0
v 0 sin gt 0 v 0 cos
.
( 2 ) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y 轴方向的分速度为vx vy dx dt dy dtt t0
( v 0 t cos ) ( v 0 t sin
t t0
v 0 cos 2 t t0
1 2
t t0
gt )
v 0 sin gt 0
在 t 0时刻炮弹的速度为v vx vy 2 2
v 0 2 v 0 gt 0 sin g t 02 2
2
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例8 求由方程dy
x a cos t 表示的函数的二阶导数 3 y a sin t3
.
解
dt dx dx 3 a cos dt2
dy
3 a sin2
2
t cos t
t ( sin t )
tan t
d y dx2
d
(
dy
)
( tan t ) ( a cos3
dx dx
t )
sec t2
3 a cos t sin t2
sec t 3 a sin t
4
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四、相关变化率设 x x ( t ) 及 y y ( t ) 都是可导函数 y 之间存在某种关系 dy dt 变化率称为相关变化率 . 之间也存在一定关系 , 而变量 x 与 dx dt , 这样两个相互依赖的 与 , 从而它们的变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
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例9 一汽球从离开观察员观察员视线的仰角增加
500 米处离
地面铅直 500 米时 ,
上升 , 其速率为 140 米 / 秒 .当气球高度为 率是多少 ?
解
设气球上升
t 秒后 , 其高度为 h , 观察员视线
的仰角为 , 则
tan 上式两边对 dh
h 500
500 米
d dt 1 5002
t 求导得
sec 2
dh dt
500 米
d dt
dt
140 米 / 秒 , 当 h 500 米时 , sec 2
0 . 14 ( 弧度 / 分 )
仰角增加率
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例10 河水以 8 米 / 秒的体流量流入水库中3
, 水库
形状是长为
4000 米 , 顶角为 120 的水槽 , 问水深 ?
0
20 米时 , 水面每小时上升几米
解
设时刻 t 水深为 h ( t ), 水库内水量为V ( t ) 4000
V ( t ), 则3h2600
dV上式两边对 t 求导得3
8000
3h
dh dt
dt
dV dt
28800 米 / 小时 , 当 h 20 米时 ,
dh dt
0 . 104 米 / 小时
水面上升之速率
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五、小结隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.