概率论与数理统计第一章5

第五节一、条件概率 二、乘法定理

条件概率

三、全概率公式与贝叶斯公式

四、小结

一、条件概率1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.S { HH T 为反面. 分析 设 H 为正面 , HT , TH , TT }.

2 1 . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P (B ). P ( B A), 则 P ( B A) 3 34 P ( A)A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P ( B )

2. 定义设 A, B 是两个事件, 且 P ( A) 0, 称 P ( AB ) P ( B A) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.

同理可得

P ( AB) P( A B) P( B)

为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.

3. 性质(1) 非负性 : P ( B A) 0; (2) 规范性 : P ( S B) 1, P ( B) 0; (3) P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);(4) P ( A B ) 1 P ( A B ).

(5) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有

P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1

4.条件概率的计算

1.公式法 2.缩减样本空间法：在条件 A 缩减得新的样 本空间 S A,再进一步在新样本空间下计算 P ( B ),从而得 P( B / A) . 例：抛2颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7,求其中1颗骰子为1点的概率(用两种 方法).

解：法1 设 A ={2颗骰子的点数和为7}B ={有1颗骰子的点数为1点}

A 对应的样本空间为S A ={(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3)} 6 1 P ( A) 6*6 6 2 1 P ( AB ) 6 * 6 18 P ( AB ) 1 / 18 1 P ( B / A) P ( A) 1/ 6 3

法2 缩减样本空间法条件 A 对应的样本空间为

S A {(1,6),(6,1),(2,5),(5, 2),(3, 4),(4,3)}在新的样本空间下

2 1 P( B) 6 3

二、 乘法定理设 P ( A) 0, 则有 P ( AB) P ( B A) P ( A).设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有

P ( ABC ) P (C AB ) P ( B A) P ( A).推广 设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件, n 2,且 P ( A1 A2 An 1 ) 0, 则有 P ( A1 A2 An ) P ( An A1 A2 An 1 )

P ( An 1 A1 A2 An 2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ).

例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率 P(B|A). 解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品; 4 号为二等品.

以 ( i , j ) 表示第一次、第二次分 别取到第 i 号、第 j 号产品, 则试验的样本空间为S {(1,2), (1,3), (1,4), ( 2,1), ( 2,3), ( 2,4) , , (4,1), (4,2), (4,3)},

A {(1,2), (1,3), (1,4), ( 2,1), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,1), ( 3,2), ( 3,4)},AB {(1,2), (1,3), ( 2,1),

( 2,3), ( 3,1), ( 3,2)},

由条件概率的公式得

P ( AB) P ( B A) P ( A) 6 12 2 . 9 12 3

例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, P ( AB) P ( B A) . 则有 P ( A) 因为 P ( A) 0.8, P ( B ) 0.4, P ( AB ) P ( B ), P ( AB) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)

抓阄是否与次序有关? 例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同? 解 设 Ai 表示“第 i 人抓到有字阄”的事件 ,

i 1,2,3,4,5.

2 则有 P ( A1 ) , 5

P ( A2 ) P ( A2 S ) P ( A2 ( A1 A1 ))

P ( A1 A2 A1 A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 )

P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 )2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5

P( A3 ) P( A3 S ) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 )) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )

P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )2 3 1 3 2 1 3 2 2 2 , 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 2 依此类推 P ( A4 ) P ( A5 ) . 5

故抓阄与次序无关.

摸球试验

t 例4 设袋中装有 r 只红球、 只白球. 每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回 并再放入a 只 , 与所取出的那只球同色 的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红 球且第三、四次取 到白球的概率.

“第 i 次取到红球” 解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件

则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .

因此所求概率为

P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )t a t r a r . r t 3a r t 2a r t a r t

此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.

例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.

" 解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破 ,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.

因为 B A1 A2 A3 , 所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 9 7 1 3 (1 )(1 )(1 ) . 10 10 2 200

三、全概率公式与贝叶斯公式1. 样本空间的划分定义 设 S 为试验E的样本空间 B1 , B2 , , Bn 为 , E 的一组事件, 若 (i ) Bi B j , i j , i , j 1, 2, , n ; (ii ) B1 B2 Bn S . 则称 B1 , B2 , , Bn 为样本空间 S 的一个划分.B2B3

B1 Bn 1 Bn

2. 全概率公式定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件, B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分, 且 P ( Bi ) 0( i 1, 2, , n), 则 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn )全概率公式

证明

A AS A ( B1 B2 Bn ) AB1 AB2 ABn .

由 Bi B j ( ABi )( AB j )

P ( A) P ( AB1 ) P ( AB2 ) P ( ABn )

P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).图示

B2A

B1 Bn 1

化整为零 各个击破

B3

Bn

关于全概率公式的理解与说明：1.事件A的发生有各种可能的原因Bi , 如果A 是由Bi 所引起, 则A发生的概率为 P ABi P Bi P A Bi 每一个原因都可能导致A发生, 故A发生的概率是 各原因引起A发生的概率的总和, 即全概率公式.2.Bi 是导致事件A发生的一种可能途径, 对于 不同的途径Bi , A发生的概率各不相同, 而采取哪 的一种加权平均, 其权为P Bi . 个途径都是随机的.故A的概率P A 应是各P A Bi