第6章测量误差的基本理论10.27

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第6章 contents6.1 误差概述 6.2 精度指标 6.3 误差传播定律

测量误差的基本理论

6.4 等精度直接平差

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第6章 测量误差的基本理论 6.1 误差概述6.1.1 误差的来源 测量误差的概念： 测量误差的概念：人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。 同程度的误差。这种误差在对变量进行 观测和量测的过程中反映出来，称为测 观测和量测的过程中反映出来，称为测 量误差。 量误差。

测量误差的定义真值：客观存在的值“ (通常不知道) 真值：客观存在的值“X”(通常不知道) 真误差：真值与观测值之差， 真误差：真值与观测值之差，i

=

li

X

(i = 1, 2 , 3 L

n )

测量误差的反映：测量误差是通过“多余观测”产生的 测量误差的反映：测量误差是通过“多余观测”差异反映出来的。 差异反映出来的。

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第6章 测量误差的基本理论 6.1.1 误差的来源 仪器误差仪器精度的局限、轴系残余误差等。 仪器精度的局限、轴系残余误差等。

6.1 误差概述

观测者的误差 误差判断力和分辨率的限制、经验等。 判断力和分辨率的限制、经验等。

观测 条件

不断变化的外界条件温度变化、 温度变化、风、大气折光等。 大气折光等。

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6.1 误差概述﹡观测与观测值的分类 1.同精度观测和不同精度观测 在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪 在相同的观测条件下， 设备，用相同的方法和在相同的外界条件下， 器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由 具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度 观测，其观测值称为同精度观测值 等精度观测值。 同精度观测值或 观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。 反之，则称为不同精度观测， 反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不 不等)精度观测值。 同(不等)精度观测值。

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6.1 误差概述﹡观测与观测值的分类2.直接观测和间接观测为确定某未知量而直接进行的观测， 为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求 未知量本身，称为直接观测 观测值称为直接观测值 直接观测， 直接观测值。 未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。通过被 观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观 观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观 测，观测值称为间接观测值。 观测值称为间接观测值。 间接观测值

3.独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测， 各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为 独立观测，观测值称为独立观测值 独立观测值。 独立观测，观测值

称为独立观测值。若各观测量之间存在一定 的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为 的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测， 非独立观测 非独立观测值。 非独立观测值。

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6.1 误差概述6.1 .2 误差的种类按测量误差对测量结果影响性质的不同， 按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分 系统误差和偶然误差两类 两类。 为系统误差和偶然误差两类。 1.系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中， 在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值 大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差， 大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系 统误差。 统误差。例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差 钢尺尺长误差 ld 计算改正 钢尺温度误差 钢尺温度误差 lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距 前后视等距) 水准仪视准轴误差 操作时抵消 前后视等距 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均 盘左盘右取平均) 经纬仪视准轴误差 操作时抵消 盘左盘右取平均 …… ……

系统误差可以消除或减弱。 系统误差可以消除或减弱。 计算改正、观测方法、仪器检校) (计算改正、观测方法、仪器检校)

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6.1 误差概述6.1 .2 误差的种类 2.偶然误差在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误 在相同的观测条件下对某量进行一系列观测， 差的出现没有一定的规律性， 差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固 表现出偶然性，这种误差称为偶然误差， 定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机 误差。 误差。 估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导 致观测值产生误差 致观测值产生误差 。

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6.1.3 偶然误差的特性σ愈小，曲线顶点愈 愈小， 愈小 高，误差分布比较 密集； 密集；反之较离散

偶然误差分布直方图

偶然误差分布曲线 图

(1)在一定的观测条件下，偶然误差不会超过一定的限值。(有界性) 在一定的观测条件下，偶然误差不会超过一定的限值。(有界性) 。(有界性 (2)绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多。(聚中性) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多。(聚中性) 。(聚中性 (3)绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。(对称性) 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。(对称性) 。(对称性 (4)随着观测次数的无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于0。(抵偿性) 随着

观测次数的无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于0。(抵偿性 抵偿性)

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第6章 测量误差的基本理论

6.1 误差概述6.1.3 偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差的特性及其概率密度函数例如， 例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观 测了358 358次 由于观测值含有误差， 测了358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个 内角观测值之和一般不等于180 180° 内角观测值之和一般不等于180°,按下式算得三角形各次 然后对三角形闭合差 观测的真误差 i,然后对三角形闭合差 i进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现， 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈 现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多， 现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越 明显。 明显。

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6.1 误差概述误差区间

d 个数个数 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181

负误差 相对个数 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000 0.505 个数 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177

正误差 相对个数 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000 0.495

0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2~1.4 1.4~1.6 1.6以上 总和

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6.1 误差概述6.1.3 偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的四个特性： 偶然误差的四个特性： (1)有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不 有界性：在一定的观测条件下， 会超过一定的限度，即偶然误差是有界的； 会超过一定的限度，即偶然误差是有界的； 单峰性： (2)单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会大； 会大； 对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； (3)对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； 补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测， (4)补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶 然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零， 然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零， 即

1 + 2 +L+ n [ ] = 0 lim = lim n→ ∞ n→ n ∞ n

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6.1 误差概述6.1.3 偶然误差的特性及其概率密度函数用频率直方图表示的偶然误差统计： 频率直方图表示的偶然误差统计： 表示的偶然误差统计 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 频率直方图中， 间的频率k/n 而所有条形的总面积等于1 k/n, 间的频率k/n,而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称 于y轴。 各条形顶边中点连线经光滑后 的曲线形状， 的曲线形

状，表现出偶然误差 的普遍规律。 的普遍规律。

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6.1 误差概述6.1.3 偶然误差的特性及其概率密度函数用频率直方图表示的偶然误差统计： 频率直方图表示的偶然误差统计： 表示的偶然误差统计 当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d (n→∞) 当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d 无限缩小 (d →0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲 →0)时 各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线, 线称为“正态分布曲线” 又称为“高斯误差分布曲线” 线称为“正态分布曲线”,又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。 所以偶然误差具有正态分布的特性。

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第6章 测量误差的基本理论

6.1 误差概述6.1.3 偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差处理方式

) 高 器 级 (1 提 仪 等 () 余 测 2 多 观 3 求 术 均 ( 可 值 似 值 最 是 ) () 算 平 值 最 靠 ， 真 ， 或 值

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第6章 测量误差的基本理论 6.2 精度指标6.2.1 精度的概念 精确度是准确度与精密度的总称 的总称。 精确度是准确度与精密度的总称。准确度： 测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小) 准确度：(测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小) 是指误差分布的密度或离散的程度,也就是指离散度的大小。 精(密)度：是指误差分布的密度或离散的程度,也就是指离散度的大小。 精密度简称精度。精度是一个集体共有的指标值 简称精度 是一个集体共有的指标值, 精密度简称精度。精度是一个集体共有的指标值,并非特指 大小。 某个偶然误差值的 大小。 指对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集 离散的程 密集或 指对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程 对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值， 度。对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密度来 评价该组观测值质量的优劣。 评价该组观测值质量的优劣。 在相同的观测条件下所进行的一组观测, 在相同的观测条件下所进行的一组观测,由于它们对应着同 一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值， 一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是等精度的 观测值。 观测值。 最或是值： 最接近真值的估值，最可靠值); 最或是值：(最接近真值的估值，最可靠值); 测量平差：(求解最或是值并评定精度)。 测量平差：(求解最或是值并评定精度)。 :(求解最或是值并评定精度

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第6章 测量误差的基本理论 6.2 精度指标 6.2.1 精度的概念

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6.2 精度指标6.2.2 几种常用的精度指标

1.方差和中误

差(mean square error) 1.方差和中误差 方差和中误差(mean [ ] 2 方差—— σ = lim 方差 x→n n 中误差—— 中误差—— m = ±

[ ]n

中误差是衡量一组观测值精度的指标， 中误差是衡量一组观测值精度的指标，其大小反映出一组观 一组观测值精度的指标 测值的离散程度。 测值的离散程度。 中误差越大 表明误差分布较离散 观测精度较低 中误差越大，表明误差分布较离散，观测精度较低，反之则 越大， 离散， 误差分布密集 观测精度较高 密集， 误差分布密集，观测精度较高。

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第6 章

测量误差的基本理论

(1).用真误差( (1).用真误差(true error)计算中误差的公式 error) 用真误差 某观测值真值X已知；(设在相同观测条件下， ;(设在相同观测条件下 某观测值真值X已知；(设在相同观测条件下，对任一个未 知量进行了n次观测， 知量进行了n次观测，其观测值分别为 l1、、Lln n个观测值 l2 , 的真误差 2 L n 为了避免正负误差相抵消和明显地反 、 、 。 1 映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和 映观测值中较大误差的影响， 的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准， 的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即[ ] n n m称为中误差，m小精度高；m大精度低。n-观测值个数 称为中误差， 小精度高； 大精度低。 m= ± =±

2 + 2 +L+ 2 n 1 2

[ ] = 2 + 22 +...... + 2n 1

真误差 i = X Li

(i =1 2,......n) ,

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6.2.2 几种常用的精度指标举 例 (1).用真误差( (1).用真误差(true error)计算中误差的公式: 用真误差 error)计算中误差的公式: 设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了9 例:设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了9次观 分别求得其真误差为： 测，分别求得其真误差为： 甲组： 甲组： 5′′, 6′′,+8′′,+6′′,+7′′, 4′′,+3′′, 8′′, 7′′ 乙组： 乙组： 6′′,+5′′,+4′′, 4′′, 7′′,+4′′, 7′′, 5′′,+3′′ 试比较这两组观测值的中误差。 试比较这两组观测值的中误差。 解： ( 5)2 +( 6)2 +(+8)2 +(+6)2 +(+7)2 +( 4)2 +(+3)2 +( 8)2 +( 7)2m = 甲 9

= ±6.''2

( 6)2 +(+5)2 +(+4)2 +( 4)2 +( 7)2 +(+4)2 +( 7)2 +( 5)2 +(+3)2 m = = ±5.''2 乙 9

说明乙组的观测精度比甲组高。 m > m 说明乙组的观测精度比甲组高。 甲 乙

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6.2.2 几种常用的精度指标 (2).用改正数计算中误差的公式 (2).用改正数计算中误差的公式 当观测值的真值未知时： 当观测值的真值未知时：, 设某未知量的观测值为： 设某未知量的观测值为： l1, l2,L ln

l1 +l2 +L+ln [l] = 则该量的算术平均值为： 则该量

的算术平均值为： x = n n

[l] vi = li = x li 则该量的改正数： 则该量的改正数： n [VV] m= ± 计算得： 计算得：观测值的中误差 n 1举 例

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6.2 精度指标6.2.2 几种常用的精度指标2.相对误差 2.相对误差 (relative error) (相对中误差) 相对中误差) —中误差绝对值与观测量之比。 中误差绝对值与观测量之比。 中误差绝对值与观测量之比 用分子为1的分数表示。 用分子为1的分数表示。相对中误差 = m = 1 / XXXD

往返测较差率K 往返测较差率K =

D往 D返 (D往 + D返 ) / 2

= 1/ XXX

分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m; S2=200 用钢尺丈量两段距离分别得S =100米 =0.02m; 用钢尺丈量两段距离分别得 =0.03m。计算S 的相对误差。 米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。 解： 0.02m 1 0.03m 1K1 = 100m = 5000K2 = 200m = 6600

K2<K1,所以距离S2精度较高。 所以距离S 精度较高。