第9章(1) 正弦电流电路的分析

第九章 正弦电流电路的分析若渐近稳定的线性非时变电路中电 源是单一频率的正弦电源，则过渡过程 完成之后，电路中的电流和电压均是与 电源同频率的正弦量。称这种电路为正 弦稳态电路(有时又称为正弦电路或交 流电路),相量法是分析正弦稳态电路 的数学手段。海南师范大学返回目录

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阻抗与导纳及相量模型 正弦电流电路的相量分析法 串并联电路分析 复杂电路分析举例 正弦电流电路的功率 例题

9 .1 阻抗与导纳及相量模型三种基本元件的相量方程为:

电阻 电感 电容将它们统一记为:

U RI U j L I U (1 j C ) I或

U ZI

I YU

Z和Y是表示二端元件电压相量与电流相量之间关系 的参数，Z称为元件的阻抗，Y称为元件的导纳。阻抗和导纳的概念也适用于由线性元件组成的不含独 立源的二端网络，下面给出严格的定义。

9 .1 阻抗与导纳及相量模型9 .1.1 9 .1.2 9 .1.3 9 .1.4 9 .1.5 不含独立源单口网络的阻抗 R、L、C元件的阻抗 不含独立源单口网络的导纳 R、L、C元件的导纳 不含独立源单口网络端口VAR的相量形式

9 .1.1 不含独立源单口网络的阻抗网络N0是正弦稳态电路中不含独立源的 线性单口网络，其电压和电流分别为：

+ u -

i N0

u 定义

2 U cos( t u ) , i 2 I cos( t i )

U Z I

称 Z 为网络 N0 的输入阻抗(又称等效阻抗或简 称为阻抗)。

Z是复数，可表示为：

Z Z

z R j X

其中 Z 为网络 N0 阻抗 Z 的模； 为 N0 的阻抗角； R 为 N0 的 等效电阻；X 为 N0 的等效电抗。Z 、Z、R、X 的单位均为欧姆。

9 .1.2 R、L、C 元件的阻抗电阻 电感i +R

u

-

U RI

i + u -

ZR R

Z L j L j X L I j CU

U j L I

X L L 称为电感的电抗(感抗)电容i + u -

X C 1 C 称为电容的电抗(容抗)

Z C j (1 C ) j X C

9 .1.3 不含独立源单口网络的导纳+ 网络 N0 是正弦稳态电路中不含独立源的 u 线性单口网络，其电压和电流分别为： i N0

u 定义

2 U cos( t u ) , i 2 I cos( t i ) I Y U

称 Y 为网络 N0 的输入导纳(又称等效导纳或简 称为导纳)。

Y 是复数，可表为：

Y Y

y G jB

其中 Y 为网络 N0 导纳 Y 的模； y 为 N0 的导纳角； G 为 N0 的 等效电导；B 为 N0 的等效电纳。

Y 、Y、G、B 的单位均为西门子。显然，对同一网络，有：

Y 1 Z , Y 1 Z , y z

9 .1.4电阻i +

R、L、C元件的导纳R

u

-

U RI

YR 1 R

电感

i +i + u -

u

-

U j L I

BL 1 L 称为

电感的电纳(感纳)电容

YL j (1 L) jBL I j CU

YC j C jBC

BC C 称为电容的电纳(容纳)

9 .1.5 不含独立源单口网络端口VAR的相量形式

+ u -

i N0

网络 N0 是正弦稳态电路中不含独立源的线性单口网 络，其电压和电流分别为：

u

2 U cos( t u ) ,

i 2 I cos( t i )

其端口VAR的相量方程为：

U ZI可分为两个实数方程：

U Z I , u i z端口VAR的相量方程还可写为： I YU

可分为两个实数方程：

I Y U , i u yZ 和 Y 反映正弦稳态电路中网络 N0 的端口特性。

例1:已知 u 2 100cos(314 60o ) (V ) ti o 2 5sin(314 120 ) ( A) t

求网络 N0 的阻抗和导纳。

解：

U 100 60o (V ) I 5 30o ( A)

+ u -

i N0

I 20 30o ( ) , Y I U 0.05 30o ( S ) Z U

例2:单口网络如图，求 Z 。 L C i R

uR解：

uL u

uC

U UR UL UC R I j LI (1 j C) I

Z U I R j( L 1 C )Z、Y不仅与元件参数有关，还与电源频率有关， 是 的函数。

9.2 正弦电流电路的相量分析法9.2.1 正弦电流电路的相量模型 9.2.2 相量模型的求解方法 9.2.3 用相量法分析正弦稳态电路的步骤

9.2.1 正弦电流电路的相量模型一.概念 时域模型 一般的电路反映电路变量瞬时值之间的关系，称 为时域模型。从这模型可列出电路的微分方程， 从而解出未知的时间函数。 相量模型 在正弦稳态电路中，各电流和电压均是同频率的 正弦量，可用相量表示；电路元件参数也可用阻 抗或导纳表示。这样的电路模型反映电路变量相 量之间的关系，称为相量模型。它是一种假想的 模型，是对正弦稳态电路进行分析的工具。

二. 相量模型的获得 拓扑结构与原电路相同； 各电流电压变量及独立电源用其相量表示(电 流和电压相量为待求相量，独立源相量为已知相 量。); R、L、C元件用其阻抗或导纳表示；

受控源参数不变。

9.2.2 相量模型的求解分析相量模型的约束条件是两类约束条件的相 量形式。将R、L、C元件参数统一用阻抗或导 纳表示后，两类约束条件的相量方程与电阻电 路中两类约束条件的时域方程在形式上相同。 因此，以前推得的分析电阻电路的所有方法和 定理均可用于分析相量模型。

9.2.3 用相量法分析正弦稳态电路的步骤 画出原电路的相量模型； 分析相量模型(可用各种分析方法),求出待求 电流、电压的相量； 给出原问题的解(写出待求电流、电压的时间表 达式或回答其它问题)。 若题目中未给出电源以及所有电

流、电压的初相 位，即未规定计时起点。解题时要令某一电流或 电压初相位为零(即规定计时起点),然后进行 求解。该初相位定为零的正弦量称为参考正弦量， 其相量称为参考相量。

i 例：正弦稳态电路如图。已知电源 u 的频率为800Hz,有效值为2V,求 I、 u UR、及 u 与 uR 的相位差 。

10

uR

L 5mH

解：原电路的相量模型如下图所示

I U

10

UR

j L

为参考相量，即 U 2 0o (V ) 令Uj L j 2 800 5 10 3 j 25.1( )

由KVL,有

I R I j L U

U 2 0o 2 0o I 0.074 68.3o ( A) R j L 10 j 25.1 27 68.3o

U R RI 0.74 68.3o (V )I 0.074( A)

U R 0.74(V )

0 ( 68.3 ) 68.3o

o