高等流体力学第三章

第三章流体动力学基本方程的数学解

3.1平行直线流——精确解流线呈平行直线的流动，称为平行直线流。其特点是流场各点的流速方向是平行的。如果将流动方向作某一个坐标(如x)的方向(可称该坐标为流向坐标),则基本方程会展现为十分简洁的形式，为数学解提拱了很好的条件。

3.1.1平行平板间的定常层流流动设粘度为μ的液体在两平行平板间作定常的定向流动,平板与海平面呈α倾角,平板宽度b与板间距 h之间满足h/b《1。选流向坐标为x轴,按右手系分别选定y,z轴如图3.1所示。在该坐标系下, v u( x, z )i速度矢量质量力矢量 f g sin i g cos kZ L

X

压强

p p( x, z )

h

流体动力学基本方程具体化为: C.E M.E u 0 x

2u 1 p 0 g sin z 2 x0 g cos 1 p z2

(3.1)

在式(3.1)中,非线性的对流项全部消失,使求解动量 u方程的数学难度大为降低。事实上,因 只是z函数， z p u c, p c,即分别为常数。只是 x函数，必有 x z x2 2 2 12

记可积分得到

p p x L

du 1 p ( g sin ) z c1 dz Lu 1 p 2 ( g sin ) z c1 z c2 2 L

根据确定的边界条件,即可得到其相应的数学解。

ⅰ两板均固定,即有:u z 0 0及使即有h2 p z z u ( g sin ) (1 ) 2 L h h

u

z h

0

c2 0

1 p c1 ( g sin )h 2 L

ⅱ下板固定,上板以匀速U运动,即有:u z 0 0

及

u z h U

使

c2 0

U 1 p c1 ( g sin )h h 2 L

h2 p z z z u ( g sin ) ( 1 ) U (3.2)即有 2 L h h h h2 p ( g sin ) P为无量纲压力梯度，若记 2 L

则可将上式用无量纲速度表示为u z z z P (1 ) U h h h

(3.3)

以无量纲速度为横坐标，无量纲高度为纵坐标，无量纲压力梯度P为参量,可以得到图3.2所示的关系曲线。由图3.2可以看出,当P>0(相对于压力没流向减小)时,流道断面上的速度分面曲线向右凸出(速度为正值 ),说明压力梯度使流体加速;当P<0(即压力没流向增大 )时,流道断面上的速度分布曲线向左凸出,即压力梯度使流动减速,说明由于上板运动依靠粘性拖动造成的运动不足以克服逆压差的影响,使得下板附近的流动可能出现逆流.

u U

z h