高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题五答(7)

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

(19)

设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x·60gdx=60gxdx． 于是将水全部抽出所作功为

w= 60gxdx

05

60g2 5=x 20

=750g(KJ) ．

13． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．

解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为

y=

x

+5． 10

x

dx 10

（20）

压力元素为

dF=x·2ydx=2x

20

所求压力为

x

F= 2x +5 dx 0 10

2013

= 5x x =1467(吨) =14388(KN)

15 0

2

14． 半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取

离水面，问做功多少？

解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为

(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为

dw (2R x)[gπy2(x)dx] πg(2R x2dx πg(2R x)(2Rx x2)dx

所求的功为

（21）

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

w πg(2R x)(2Rx x2)dx

2R

πg (4R2x 4Rx2 x3)dx

2R

224314 πg 2Rx Rx x

34 0

4

πR4g (KJ).3

2R

15． 设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

（图22）

km dskm km

(Rd ) d R2R2R

km

dFx dFcos cos d ,

RdF

则

km km 2km

Fx cos d 2 2cos d sin

0 RRR22

2

dFy dFsin

km

sin d R

则 Fy 故所求引力的大小为

km

2Rsin d 0.

2

2km

sin，方向自N点指向圆弧的中点。 R2

16． 求下列函数在[－a，a]上的平均值：

(1)f(x)

1a11 a2πax1解： x x . arcsin 02aaa 2a204

(2) f(x)=x2

a

1a21a21 13 a2

解： xdx xdx x .

2a aa0a 3 03

a