1.1你能证明它们吗1

九年级数学上册 1.1你能证明它们吗1

广南县南屏初中2013年9月1日

李文良

回顾与思考 1

几何的三种语言

判断公理: 三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 在△ABC与△A′B′C′中 ∵ AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).A′ B

A

B′

C

C′

回顾与思考 2

几何的三种语言B

判断公理: 两边及其夹角对应相等的两个三 角形全等(SAS).A●

在△ABC与△A′B′C′中 ∵ AB=A′B′ ∠A=∠A′ A′ BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).

B′

C

●

C′

回顾与思考 3

几何的三种语言B●●

判断公理: 两角及其夹边对应相等的两个 三角形全等(ASA).A●

在△ABC与△A′B′C′中 ∵ ∠A=∠A′ AB=A′B′ A′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).

B′●●

C

●

C′

回顾与思考 4

几何的三种语言B● ●

性质公理: 全等三角形的对应边、对应角相等.A●

● ● ●

∵ △ABC≌△A′B′C′

B′● ●

C

∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ (全等三角形的对应边相等);(全等三角形的对应角相等).∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′

A′

●

● ● ●

C′

三角形全等的小结判定 公理：三边对应相等的两个三角形全等.(SSS) 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 性质 公理：全等三角形的对应边、对应角相等.推论：两角及其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等(AAS)

你能证明上面的推论吗？

推论:两角及其一角的对边对应相等的 两个三角形全等(AAS) 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′. ● A 求证:△ABC≌△A′B′C′.

B

● ●

证明:∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′(已知) ∴∠B=∠B′(三角形内角和定理) A′ 在△ABC与△A′B′C′中 ∵ ∠A=∠A′ (已知), AB=A′B′(已知), ∠B=∠B′ (已证), ∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA).●

B′

C

● ●

C′

回顾与思考 5

几何的三种语言B

推论: 两角及其一角的对边对应相等 的两个三角形全等(AAS). 在 △ABC与△A′B′C′中 ∵ ∠A=∠A′ ∠C=∠C′ A′ AB=A′B′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS).A●

●●

B′

C

●

●●

C′

证明了的结论,以后可以直接运用.

探究1.如图:已知在△ABC和△DEF 中 AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=100°,则△ABC和△DEF会 全等吗?若能请证明;若不能请说明理由.其它条件不变若∠B=∠E=70°F C

BE D

A

议一议P2

1

等腰三角形的性质A

你还记得我们探索过的等腰三角形 的性质吗?

1 定理: B 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).

2

C

推论: 等腰三角形顶角的平分线,底边上的

中线 底边上的高互相重合(三线合一 ).

A

B

D

C

你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?

议一议P2 2

定理:

A

等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 已知: B 如图,在△ABC中, AB=AC. 求证: ∠B=∠C.证明: 过点A作AD⊥BC,交BC于点D. 在Rt△ABD与Rt△ACD中 ∵ AB=AC (已知), AD=AD(公共边), ∴ △ABD≌△ACD(HL).

D

C

此时AD还是 什么线?

∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).

推论:

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中 线、底边上的高线互相重合(三线合一). A ∵AB=AC, ∠1=∠2 (已知). ∴BD=CD,AD⊥BC (三线合一). 1∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC (三线合一) ∵AB=AC, AD⊥BC (已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 (三线合一) 轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD, 可得三线合一的三种不同形式的运用.B

2

D

C

随堂练习1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且每 个角都等于60°. 2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点, 且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1) 求证:△ABD是等腰三角形 (2)求∠ABD的度数B C D A

习题1.11.将下面证明中每一步的理由写在括号内:已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C. 证明:连接BD, 在△BAD和△DCB中, ∵ AB=CD( ) B AD=CB( ) BD=DB( ) ∴ △BAD≌ △DCB( ) ∴ :∠A=∠C ( )A C

D

2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠DA D

B E

C

F

探究已知：等腰三角形△ABC,AB=AC, DE⊥AC, DF⊥AB, CH⊥AB A 探索DE、DF、 CH的关系?

H F ED

B

C