自动控制理论第二章

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第二章 线性系统的数学模型HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY

本章重点1. 线性系统微分方程的建立；

2. 运用拉氏变换法求解线性微分方程；3. 传递函数的概念和性质； 4. 传递函数和微分方程之间的关系； 5. 结构图的绘制及其等效变换； 6. 结构图和信号流图的关系； 7. 梅逊公式。1 自动控制理论

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第二章 线性系统的数学模型HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY

本章难点(1) 运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知 识)建立正确的微分方程； (2) 建立系统的结构图或信号流图；

(3)(4)

结构图和信号流图等效变换的灵活运用；建立系统的动态方程。2 自动控制理论

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第二章 线性系统的数学模型HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY

物理模型— 理想化的物理系统 数学模型— 物理模型的数学描述 建模——建立起比较简单又能反映实际物理过程的模型。 建模的线性化问题 两种基本方法：机理分析法和实验辨识法。求解 线性微分方程 时间响应 观察 性能指标

傅 氏 变 换

拉氏变换 传递函数 S=jω 频率特性 计算

拉氏反变换 估算

估算

频率响应

3 自动控制理论

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第二章 线性系统的数学模型HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY

第二章 线性系统的数学模型§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 线性系统的输入—输出时间函数描述 线性系统的输入—输出传递函数描述 典型环节的数学模型 控制系统的结构图及其等效变换 自动控制系统的传递函数4 自动控制理论

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第二章 线性系统的数学模型HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY

§2.1

线性系统的输入—输出时间函数描述

系统的输入—输出描述：

是一种外部描述，目的在于通过该数学模型确定被控 制量与给定量或扰动量之间的关系 。 一、列写微分方程法(机理分析法)1. 线性元件的微分方程 (1) 确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进 一些中间变量。 (2) 根据物理或化学定律，列出微分方程。

(3) 消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括 扰动量)关系的微分方程(标准形式)。 5 自动控制理论

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例2.1 弹簧阻尼系统

ma F F Fs Ff

ky

f

Fs kyFf fv

y

dy dty

mFo

m

oF

d2y dy m 2 f ky F dt dt

f — 粘滞摩擦系数 k— 弹簧系数 v— 物体相对的移动速度 6 自动控制理论

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例2.1 机械传递系统xa和xb作为网络的结点。在每一 个节点上，力的和等于零。

xaK

xbM

参考面

f f K K ( xa xb )

B

f K f M f B MD xb BDxb2

综合两个方程可以得到：

(MD BD) xb f2

f(t)

xaK K M

xbB

(MD BD K ) xb Kxa2

K (MD2 BD) xa (MD2

BD K ) f d “D”表示微分算子 ( ) dt

参考面

7 自动控制理论

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xa MD2 BD K G1 f K (MD2 BD)xb K G2 xa MD2 BD KG xb 1 f MD 2 BD

f(t)G1(D)

xa

G2(D)

xb

f(t)

G(D)

xb

G=G1G28 自动控制理论

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例2-2

机械旋转系统

θ

Ts k

T JTf f d dt

J

T

d 2 J 2 T T T f Ts dt

f — 粘滞摩擦系数 k— 弹性扭转变形系数9 自动控制理论

d d J 2 f k T dt dt2

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例2-3

齿轮系

J—齿轮齿轮的转动惯量，f—摩擦系数，z—齿数， r—齿轮半径，Mm—原动转矩，Mc—负载转矩。

啮合齿轮线速度相同，传递功率相同

M1 1 M 2 2 ; 1r1 2r2r1 r2 齿数与半径成正比 Z1 Z 2 Z1 Z1 2 1; M1 M 2 Z2 Z210 自动控制理论

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分别列出齿轮1,2的运动方程d 1 J1 f1 1 +M 1 M m ; dt d 2 J2 f 2 2 +M c M 2 dt

消去中间变量 2 , M , M 22 2 d Z1 Z1 Z1 1 M m J1 J 2 f1 f 2 1 +M c dt Z2 Z2 Z2

Z 令 J J1 1 J 2 ; Z2

2

Z f f1 1 f 2 ; Z2

2

Z Mc 1 Mc Z2

有 J

d 1 Mm f 1 +Mc dt

11 自动控制理论

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例2-3电阻、电感、电容串联网络

R

L

di L Ri uC u dt q dq uc i C dtd q dq 1 L 2 R q u dt dt C2

+ u _

iL

uC

C

机械传递系统f v M K B x 力 速度 质量 弹性系数 阻尼系数 线位移

电气网络u i L 1/C R q 电压 电流 电感 电容倒数 电阻 电荷

d 2uC duC LC 2 RC uC u dt dt

12 自动控制理论

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例2-4

直流他激电动机带动负载+

iaeC

设激磁电流恒定并忽略电枢反应。 ω为转速，Ua为电枢电压，Mc为负载 1) 电枢回路的电势平衡方程为： dia La ia Ra ea ua dt 2)电动机的反电势方程为

LaRa

ω

MC

ua_

负载

+ _

ea Ce M Cmia

Ce为电动机的电势常数，单位为v· s/rad。

3)电动机的电磁转矩方程为Cm为电动机的转矩常数，单位为Nm/A。13 自动控制理论

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4)电动机轴上的动力学方程为d M Mc dt J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为N· m· s2。 J消去ea、ia、M三个中间变量，

可以得到描述输出量ω, 输入量ua及扰动量M之间的关系的微分方程为：

d 2 d dMc TaTm 2 Tm Kuua Km Ta Mc dt dt dt La Ra JRa Tm CeCm Ta 电机的电磁时间常数 电机的机械时间常数

1 Ku 电压传递系数 Ce T K m m 转矩传递系数 J14 自动控制理论

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通常电枢的电感La很小，所以电磁时间常数可以忽略不计，于是电 动机的微分方程可以简化为：

d Tm K u ua K m M c dt如果取电动机的转角作为输出，则上式可改写为

d 2 d Tm 2 K u ua K m M c dt dt

2 微分方程的增量化表示若电动机处于平衡状态，各阶导数均等于零，微分方程可以变 为下面的代数方程：

Kuua Km M c表示平衡状态下的输入量和输出量的关系，称为静态方程， 表示了电机的控制特性和机械特性。15 自动控制理论

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电动机在平衡状态附近运行的变量可以表示为：

ua ua 0 ua M c M c 0 M c 0 将上面变量代回到简化的微分方程中，并考虑平衡状态的变量关系

0 Kuua0 Km M c0可以得到

Tm

d K u ua K m M c dt

这是电动机的微分方程在平衡状态附近的增量化表示式。

16 自动控制理论

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3 非线性方程的线性化非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。 在一定工作范围内进行线性化处理。 将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项。 例：直流发电机 X轴表示励磁电流 Y轴表示输出电势 由于存在磁路饱和，y和x呈非线 性关系y0y

y0 yA

B

y=f(x)

可以在(x0,y0)附近泰勒级数

x0

x0 xx17 自动控制理论

直流发电机空载特性曲线

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dy 1 d2y y f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x0 2! dx2

( x x0 ) 2 x x0

dy 1 d2y y y0 ( x x0 ) dx x x0 2! dx2忽略高次项，然后用增量表示

( x x0 ) 2 x x0

y K x

dy 是比例常数。 K dx x x0

经上述处理后，就变成了线性方程。

18 自动控制理论

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对于具有两个自变量的非线性函数

y f ( x1, x2 )在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级数。

f y f ( x10 , x20 ) x 1用增量表示

x1 x10

f ( x1 x10 ) x2

( x2 x20 ) x x 20

y K1 x1 K2 x2dy K1 dx1 dy 及 K2 dx2 x

x10

是比例常数。x x2019 自动控制理论

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上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输 出量只是在静态工作点附近作微小变化 。

几点注意：(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可 以利用泰勒级数展开的(非本质非线性)。 (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近， 且变量只能在小范围内变化。 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的。 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足 泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。 (5)线性化后得到的是增量微分方程。20 自动控制理论

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二、脉冲响应法(实验辩识法)描述线性定常系统的微分方程为：

dny d n 1 y dy d mx a0 n a1 n 1 an 1 an y b0 m dt dt dt dt d m 1 x dx b1 m 1 bm 1 bm x dt dt实验辨识方法的理论依据 ： 假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零 ，其响应和 输入之间满足齐次和线性关系 ，即：

C(t)=H(t)r(t)

21 自动控制理论