(同济六版)_高等数学电子教案(高教社)2222

第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

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第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、映射 三、函数

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一、 集合1. 定义及表示法简称集

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

简称元

.

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an

自然数集

ai N 0 , 1 , 2 , , n , n

n i 1

(2) 描述法： M x x 所具有的特征

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p 有理数集 Q p Z , q N , p 与 q 互质 q 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间 [ a , b ] x a x b 目录 上页 下页 返回 结束

半开区间 无限区间

a a a 点的 域 邻 邻域 称为邻域半径 .

(

)

去心

其中, a 称为邻域中心 ,

左

邻域 :

右

邻域 :目录 上页 下页 返回 结束

2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .若 例如, 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,

显然有下列关系 :

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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:

并集 A B x交集 A B x 差集 余集

或

A B

B AA\ BA B

且且 x B

A \ B xc BA

A \ B ( 其中B A )

直积

A B ( x , y) x A , y B 记

A c BA

B

yB A B A下页 返回 结束

特例: R R

R

2

为平面上的全体点集目录

O上页

x

二、 映射引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号

某班学生的集合 按一定规则入座

某教室座位 的集合

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引例2.

引例3.

(点集) (点集)

向 y 轴投影目录 上页 下页 返回 结束

定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .

X

f

Y

元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f ( x).元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;

Y 的子集 R f f ( X ) f ( x) x X 称为 f 的 值域 .注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则,

值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.目录 上页 下页 返回 结束

对映射若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射;引例2, 3

X若则称 f 为单射;

f

Y f (X )

有引例2

X

Y

若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.引例2

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例1.海伦公式(满射)

例2. 如图所示,对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射)r

例3. 如图所示, 则有

(满射)目录 上页 下页 返回 结束

说明:映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用

名称. 例如,X (≠ X (≠ ) )

f f

Y (数集)X

f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换

X (数集 或点集 )

f

R

f 称为定义在 X 上的函数

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三、函数1. 函数的概念定义5. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 为定义在

y f ( x) , x D自变量

因变量称为值域 函数图形:

y R f f ( D) y y f ( x), x D yC ( x , y ) y f ( x) , x D D f ( D)

O

a x b ( D [a, b] )目录 上页 下页 返回 结束

x

x D(定义域)

f

y R f f ( D) y y f ( x), x D (值域)

(对应规则)

定义域

使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 2

对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. 对应规律的表示方法: 解析法、图像法 、列表法 1 例如, 反正弦主值 定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值域

y

O

1x

2

值 域目录 上页 下页 返回 结束

2 x , 0 x 1 例4. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 1 1 ). f ( ) 写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f ( 1 及 t 2解: f (x) 的定义域 D [0 , ) 值域

yy 2 x

y 1 x

f ( D ) [0 , )1 2

f (1 ) 2 2f(1 ) t

2

O

1 1 , 0 t 1 t 2 , t 1 t目录

1

x

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2. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 在 I 上有界.说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (见 P11 ) (2) 单调性 当 x1 , x2 I , x x 时， y 1 2 , f ( x) M , 称 为有上界

若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 , M f ( x), 称 为有下界 单调增函数 ; )1 x M , 若对任意正数 M , 均存在 x D, 使 O f ( xx x 2 f ( x ) 为 I 上的 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 则称 f ( x ) 无界 . 单调减函数 .目录 上页 下页 返回 结束

(3) 奇偶性

x D, 且有 x D,若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.

y

说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则

当

x Oy ex

xx

f ( x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.例如,x

e e y f ( x) 偶函数 2 记 ch x 双曲余弦

x

e x

y ch x

O目录 上页 下页 返回

x结束

e e 又如, y f ( x) 2记x

x

x

奇函数 e x

y

ex

y sh xx

sh x 双曲正弦 x

sh x e e 再如, y x x ch x e e记

O奇函数

th x 双曲正切

y 1

说明: 给定 f ( x), x ( l , l ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 则 f ( x) 2 2 偶函数 奇函数

O 1

y th x x

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(4) 周期性

x D, l 0 , 且 x l D, 若则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).

y

2 π π

O π 2π

x周期为

周期为 例如, 常量函数 f ( x) C

注: 周期函数不一定存在最小正周期 .

狄利克雷函数

1, 0,

x 为有理数 x 为无理数目录 上页 下页 返回 结束