哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案(2)

哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案

0 z 1 C : z r (0 r 1) (D) 若 f ( z ) 在 内解析，且沿任何圆周 的积分等于零，则 f ( z ) 在 z 0 处解析

in 4.级数 n 1 n (

z 10.区域 D {z : Im z 0} 在映射 w e 下的像为( (A) 上半平面 (B) 下半平面 (C) 左半平面

). (D) 右半平面

). (A) 条件收敛 (C) 发散

(B) 绝对收敛 (D) 敛散性不能确定

三、

得分

评卷人

计算题(每小题5分，共30分)

5. z =2 是函数

f ( z)

1 cos( z 2) z 2 4 z 4 的孤立奇点，其类型为((B) 本性奇点 (D) 二阶极点 ).

).

2 2 1. 验证 v( x, y) 2 x 2 y x 是一调和函数，并构造解析函数 f ( z ) u iv 满足条件

姓名：

(A) 可去奇点 (C) 一阶极点

f (i) 2 i .

z 6.设 f ( z )

在 0 点解析，则下列说法中不正确的是( z (A) f ( z ) 在 0 的某邻域内可以展开成幂级数

f ( z ) cn ( z z0 ) nn 0

ez C z n dz ,其中 n 为整数. z 1 2. 设 C 为正向圆周 ，计算积分

装

z (B) f ( z ) 的实部 u ( x, y ) 和虚部 v( x, y ) 在 0 的某邻域内满足柯西-黎曼方程 z (C) f ( z ) 的实部 u ( x, y ) 和虚部 v( x, y ) 在 0 的某邻域内可微f ( z) 3. 将函数

1 z ( z i) 在区域 1 z i 内展开为洛朗级数.

订

z (D) 映射 w f ( z ) 在 0 点具有保角性

学号：

线

H : R1 z z0 R2 7.设 f ( z ) 在圆环域 内的洛朗展开式为 n z0 的任一条正向简单闭曲线，那么2 ic4 A.

c (z z )n 0

n

,C 为 H 内绕

4. 利用留数计算积分

x2 dx (a 0) ( x 2 a 2 )2 .

C

班级：

2 i Res[ f ( z), z0 ] B. 2 i (3) f ( z0 ) 2 ic3 C. D. 3! dz z z 1 C 8.设 C 为正向圆周 ，则积分 1 e ( ). (A) 2 i (B) 2 i (C) i (D) i 9. 已知函数 f (t ) 的傅立叶变换 F [ f (t )] F ( ) ,则下列命题中正确的是((A) F [ f (t 1)] e F ( )i

f ( z) dz ( z z0 )4 (

).

1 1 f ( ) 0, arg f ( ) 0 2 5. 求分式线性映射 w f ( z ) ,把 | z | 1 映为 | w | 1 ,且 2 .

6. 利用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题 ).

y 4 y 3 y e 2t y (0) 0, y (0) 1

.

(C) F [tf (t )] F ( )

(B) F [e f (t )] F ( 1)it

(D) F [ f (t ) 1)] F ( ) 2 ( ) 第5页 第6页

哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案

2012.1.6复变函数与积分变换期末考试标准答案与评分标准 一、选择题

1、C 2、A 3、B 4、D 5、C 6、A 7、A 二、填空题 1ln2 4k i(ln 1

1、e

222 4

)或e

2ln2 2 4k i(ln2 4

2k ) 2、发散

3、iz2 c 或

2xy c1 i(x2 y2) c2 4、0 5、 m

( 5) ( 5) i 2 ( ) ( 5) ( 5)6、

i ( 5) ( 5) 或 1 (2 i)e i3t (2 i)ei3t

i ( ) 7、2

三、计算题1

1、解：方程变形得 ez

1 i

两边同时取对数 z Ln 1 i ……………………………….…2分

13 2ln2 i(

4 2k )……………………2分

2、解：设z ei

2

ei e i 0

2

(iei)d

则原式2ei

12 2 0

(2iei

i)d

i…………………………………………………………….…..2分 12 1

3、解：设 2x， 0a2 sin2x 02a2 1 cos d 令z ei

，则

1

1dz1z 12a2 1

z2 1iz 2iz 1

z2 (4a2 2)z 1dz 原式2z 2i1

z 1

(z z1)(z z2)dz

222

2 z1 2a 1 (2a 1) 1

，

z2 2a2 1 (2a 1)2 1

其中

z1 1,

z2 1

,所以

10

a2 sin2x 2 iRes[f,z1] 2 ilimz z(z z2i

2

) 2(z z1)(z z2)a4 a2…2分

4、解：设将上半平面映射为单位圆内的的映射为

w

z z0

z 0………………………………………1分

由题意该映射将1 i映射为0，所以z0

1 i

w

z 1 i即映射为

z 1 i……………………………………………….1分 1

又该映射将1 2i映射为5代入上式得

1

1 2i 1 i 1 2i 1 i 3故 55

………………………………………………….2分 w

3z 1 i

所求映射为

5z 1 i

若答案为无解也正确。………………………………………………..1分 四、计算题2

z i

1、(1) 0 z i 2

1

内， 2i…………………………….1分

f(z) 1 1 1 11

1 z2z iz i

z iz i 2i 11

2i(z i)1

z i 1 2i 2i

1 n z i n 1n 0 2i …

2i

1

(2) 2 z i 内，z i…… f(z)

1111

z i z i

z iz i 2i 111

z iz i1 2i

z i 1

(z i)2 ( 1)n 2i nn 0 z i =Y(s) L[y(t)] 2、解：设对方程两边同时做拉普拉斯变换得

s3Y(s) s2y(0) sy (0) y (0) 3s2Y(s) 3sy(0) 3y (0) 3sY(s) 3y(0) Y(s)

1

s

由于y(0) 2,y (0) y (0) 1，故