高等数学综合练习题集六

综合练习六

01A设z y f( 1),若当y 1时,z x,则z (

).

(A)x y 1;(B)y x 1;(C)

x

y 1;

(D)

x y 1.

01B求函数z arcsin(x y2) ln[ln(10 x2 4y2)]的定义域.01C求下列极限:(1)

xlim (x2 y2)x2 y2;

(2)

xlim(

x21

1x y

y0 0

y a

(a 0);

3

(3)

2|

y|2

(x,ylim

x) (0,0)

x4 y2

;

(4)

x lim

xy2y2

y

(x2 y2x.

01D证明下列极限不存在:(1)lim

xy2

x 0x2 y4

;

(2)x3y xy4 x2y

y 0

xlim

y 0 0

x y

.

01E证明x2y2

xlim

y 0 0

x2 y2

0.

01F讨论函数u

x y

x3 y3

的连续性.

02A设z f(x,y)满足 2f

y2

2x,f(x,1) 0,

f y sinx,y 0

求f(x,y).

2

2

02B设f(x,y) x2arctanyx

f f f f y2arctan,求 x, y, x2,

x y.02C求函数z ln(x y2)的一阶和二阶偏导数.

02D2

2

设z yxln(xy),求 z x

2

, z x y.02E求函数z xy

x2 y2

当x 2,y 1, x 0.01, y 0.03时的全增量

和全微分.

2xy02F考察函数f(x,y)

x2 y2

,x2 y2 0在点(0,0)处可导性,

连续性与可微性.

x3y 02G设f(x,y)

xy3

x2 y2

,(x,y) (0,0) 0,(x,y) (0,0)(1)求fx(0,0);

(2)求fxy(0,0).

02H设f(x,y) x2y2 (x2 y2)3/2,x2 y2 0,证明:f(x,y)在点(0,0)

处 0,x2 y2 0,连续且偏导数存在,但不可微分.

xy(x2 y2)02I设f(x,y)

x2 y2

,x2 y2 0, 求

f

0,x2 y2 0,

x, f

y

,并证明:fxy(0,0) fyx(0,0).

xysin1x2 y2 0

02J设f(x,y)

x2 y2,,

证明f(x,y)在原点

0,x2 y2 0

(0,0)可微.

02K某函数的全微分为:

(x ay)dx ydy

(x y)2

,求a值.03A通过变换 x 2, x 2(y 0)一定可以把方程

2z x2 y 2z y

1 z

22 y(y 0)

化为(

).22(A)

z 2z0;(B)

2zz 2

2

2

2

0;

(C)

2z

2z

2z

2

z

0;

(D)

0.03B设u u(x,y)为可微分的函数,且当y x2时,有u(x,y) 1及 u x

x;则当y x2(x 0)时,

u y

().(A)

12

;(B) 12

;

(C)0;

(D)1.