北京交通大学机械原理第10章

第十章

机械的运转及其速度波动的调节本章重点： 等效质量、等效转动惯量、

本章教学内容◆ 机械的运动方程式

◆ 机械运动方程式的求解◆ 稳定运转状态下机械的周期性速度 波动及其调节 ◆ 机械的非周期性速度波动及其调节

等效力、等效力矩的概念及其计算方法； 机械运动产生速度波动的

原因及其调节方法。

本章教学目的◆ 了解机器运动和外力的定量关系 ◆ 了解机器运动速度波动的原因、特点、危害

◆ 掌握机器运动速度波动的调节方法

§10-1一、作用在机械上的力

概述

当忽略机械中各构件的重力以及运动副中的摩擦力时， 作用在机械上的力可分为工作阻力和驱动力两大类： 1. 工作阻力 工作阻力是指机械工作时需要克服的工作负荷，它决 定于机械的工艺特性。

在机械的生产过程中，有些生产阻力为常数，有些是位置的函数，还有一些是速度的函数。

一、作用在机械上的力2. 驱动力 驱动力是指驱使原动机运动的力，其变化规律取决于 原动机的机械特性。 原动机的机械特性：指原动机发出的驱动力与运动参 数之间的关系。

额定转矩：特性曲线上N点所对应的转矩。

同步转速：对应于C点的转矩。 任一点的转矩为:Md Mn( 0 ) /( 0 n )交流异步电动机的机械特性曲线

二、机械运转的三个阶段1. 起动阶段 原动件的速度由零逐 渐上升到开始稳定的 过程。 Wd=Wc+E

2. 稳定运转阶段

Wd=Wc

1)周期变速稳定运转：角速度ω ≠常数，但在一个运动循 环的始末相等的稳定运转。

2)等速运转：ω =常数的稳定运转。3. 停车阶段 Wd=0; E=-Wc

原动件的速度从正常工作速度下降到零的阶段。

§10-2

机械的运动方程式

一、机械运动方程的一般表达式机械系统的运动方程式为：dE=dW 对于如图之曲柄滑块机构：2 2 dE d ( J 1 12 / 2 m 2v S 2 / 2 J S 2 2 / 2 m 3v 32 / 2)

dW ( M 1 1 F 3v 3)dt Ndt

dE dW 系统的运动方程式为： 2 2 2 dE d ( J 1 12 / 2 m 2v S 2 / 2 JS 2 2 / 2 m 3v 3 / 2)

( M 1 1 F 3v 3 )dt

一、.机械运动方程的一般表达式 对于由 n个活动构件组成的机构E

E (m vi i i 1 i 1

n

n

2 Si

/ 2 J S 2 i2 / 2)

若作用于构件 i上的作用力为Fi,力矩为Mi ,力Fi 作用点的速度为ui ,构件的角速度为ω i ,则其瞬时功率为：N Ni ( Fi i cos i Mi i )i 1 i 1 n n

dE dW 运动方程的一般表达式为： Ndt 2 d [ ( miv Si / 2 J Si i2 / 2)] [ ( Fi v i cos i M i i )]dt i 1 i 1 n n

二、机械系统的等效动力学模型

1. 等效转动惯量和等效力矩2 2 2 J 1 12 m 2v S 2 JS 2 2 m 3v 3 dE d ( ) ( M 1 1 F 3v 3)dt 2 2 2 2 12 vS2 2 v3 2 v 2 2 d J 1 J S 2 ( ) m 2 ( ) m 3 ( ) 1 [ M 1 F3 ( 3 )]dt 1 1 1 1 2

等效转动惯量 J e J 1 J S 2 ( 等效力矩 M e M 1 F3 (v3

v v 2 2 ) m2 ( S 2 )2 m3 ( 3 )2 1 1 1

1

)

J e ( 1 ) 12 d[ ] M e ( 1 , 1 , t ) 1 dt 2(能力微分形式的运动方程式)

说明： 对一个单自由度的机械系统的运动研究可简化为对该 系统的一个具有等效转动惯量Je( ),在其上作用有等

效力矩Me( , ,t)的假想构件的运动的研究。等效构件 具有等效转动惯量，其上作 用有等效力矩的等效构件

原机械系统等效 动力学模型

二、机械系统的等效动力学模型(续)2. 等效质量和等效力 选滑块为曲柄滑块机构的等效构件2 v3 vS2 2 1 2 2 2 ( M 1 1 F3 )dt d [J 1 ( ) m 2 ( ) J S 2 ( ) m3 2 v3 v3 v3

等效质量： me J 1 ( 等效力：

vS2 2 1 2 2 2 ) m2 ( ) J S 2 ( ) m3 v3 v3 v3 1v3 ) F3

Fe M 1 (

2 v3 d m e ( s 3 ) Fe ( s 3 , v 3 , t )v 3 dt 2

(能力微分形式的运动方程式)

小结： 若取转动构件为等效构件，有：J e [m i (i 1n

n

v Si

) 2 J Si (

i 2 ) ]

vi i M e [ Fi cos i ( ) M i ( )] i 1

若取移动构件为等效构件，有：m e [m i (v Si / v ) 2 J Si ( i / v ) 2 ]i 1 n

Fe

Fi 1

n

i

cos i (v i / v ) M i ( i / v )]

三、其他形式表达的机械运动方程式1. 以回转构件为等效构件时 1)力矩形式的机械运动方程式J e ( 1 ) 12 d[ ] M e ( 1 , 1 , t ) 1 dt 2

d (J e Jed(

22d 2

) M e dt M e d )

d (J e

22

)

d

Me

d(

2

2 dJ e Me 2 d

d 2 dJ e Me J e dt 2 d

) d( ) 2 dt d d dt d dt 2

2

2

三、其他形式表达的机械运动方程式(续)2)动能形式的机械运动方程式：d ( J e 2 / 2) M e dt M e d

对 积分

1 1 2 2 J e J e 0 M e d 0 2 2

2. 以移动构件为等效构件时 1)力矩形式的机械运动方程式dv v 2 dm e me Fe dt 2 ds

2)动能形式的机械运动方程式： s 1 1 2 2 m e v m e v 0 Fe ds S0 2 2

§10-3

机械运动方程的求解

一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数(Md=Md( ),Mr=Mr( ), Me=Me( ),Je=Je( ))1. 等效构件的角速度

1 1 2 2 J e J e 0 M e d 0 2 2

e e 0 0 ,J J

t t 0时， 0

1 1 2 2 J e ( ) ( ) J e0 0 M e ( )d 0 2 2

2 0 M e ( )d J e ( ) J e ( )2 0

J e0

= ( )

一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数(续) ( ) d dt

变换后积分

d t0 dt 0 ( )t

t t0

d 0 ( )

= (t)

2. 等效构件的角加速度

d d d d dt d dt d

二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时 以电动机驱动的鼓风机，搅拌机之类机械属于这种情 况。 用力矩形式的运动方程式求解比较方便。

M e ( ) M ed ( ) M er ( ) J e / dt

分离变量 dt J e d / M e ( ) 积分

t t0 J e t Je 0

t t 0 0时 0 0

d 0 M ( ) e d d = (t) dt M e ( ) t

d dt

0 (t)dttt0

t t 0时 0 0 (t)dt 00

例1:

如图为一齿轮驱动的正弦机构，已知：z1=20, 转动惯量 为J1;z2=60,转动惯量 为J2,曲柄长为l,滑块 3和4的质量分别为m3, m4 ,其质心分别在C和D 点，轮1上作用有驱动力 矩M1,在滑块4上作用有 阻抗力F4,取曲柄为等 效构件， 求：图示位置时的等效转动惯量Je及等效力矩Me。

解： 1)求J e J e J 1 ( 1 / 2 ) 2 J 2 m 3 (v 3 / 2 ) 2 m 4 (v 4 / 2 ) 2

v3 vc 2 l

v 4 v c sin 2 2 l sin 2

例1(续) J e J 1 ( z 2 / z1 ) 2 J 2 m 3 ( 2 l / 2 ) 2 m 4 ( 2 l sin 2 / 2 ) 2 9J 1 J 2 m 3 l 2 m 4 l 2 sin 2 2

2)求M e 瞬时功率不变 M e 2 M 1 1 F4 cos 180 (v 4 )

M e M 1 ( 1 / 2 ) F4 cos 180 (v 4 / 2 ) M1 ( z 2 / z1 ) F4 ( 2 l sin 2 / 2 ) 3M1 F4 l sin 2

说明

1)Je的前三项为常数，第四项为等效构件的位置参数 2的函数，为变量。2)工程上，为了简化计算，常将等效转动惯量中的变 量部分用其平均值近似代替，或忽略不计。

例2:已知：各齿轮齿数，齿轮3的分 度圆半径r3,各齿轮的转动惯量， 工作台重G,当取齿轮1为等效 构件时，试求该机械系统的J e。 解：1 1 1 1G 2 2 1 2 2 2 J e 1 J 1 1 ( J 2 J 2 ) 2 J 3 3 2 2 2 2 2 g

3 2 G v 2 2 2 J e J 1 ( J 2 J 2 )( ) J 3 ( ) ( ) 1 1 g 1 z1 2 z1 z 2 G 2 z1 z 2 J 1 ( J 2 J 2 )( ) J 3 ( ) r3 z2 z2 z3 g z2 z3

§ 10-4 稳定

运转状态下机械的周 期性速度波动及其调节一、产生周期性速度波动的原因 当等效构件回转过 角时，W d ( ) M ed ( )d W r ( ) a a

M e ( )d

机械动能的增量为： E W d ( ) W r ( ) [ M ed ( ) M er ( )]d a

J e ( )

2 ( )2

J ea

a22

一、产生周期性速度波动的原因(续) 盈功： E >0 ,用“+”号表示。 亏功： E <0 ,用“-”号表示。

在盈功区，等效构件的ω 在亏功区，等效构件的ω

在Me和Je的公共周期内，Wd=Wr, 经过Me和Je的一个公共周期，机械的动能恢复到原来的值 等效构件的角速度恢复到原来的数值。2 2 E ( M ed M er )d J ea a / 2 J ea a / 2 0 a a

等效构件的角速度在稳定运转过程中呈现周期性波动。

二、速度波动程度的衡量指标1. 平均角速度 m( max min ) m 2

2. 角速度的变化量 max- min 可反映机械速度波动的绝对量，但不能反映机械运转的

不均匀程度。

例如：当 max- min=5rad/s时，对于 m =10 rad/s 和 m =100rad/s的机械，低速机械的速度波动要明显一些。

3. 速度不均匀系数 :角速度变化量和其平均角速度的比 值。工程上用它来表示机械运转的速度波动程度。

( max min ) / m