第12-13讲留数

复变函数课件

§5.1 孤立奇点1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 5.

∞ 为孤立奇点的定义和分类

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1. 定义定义 若 f ( z )在 z 0 处不解析 , 但在 z 0的某个去心邻域 0 < z z 0 < R 内解析 , 则称 z 0为 f ( z )的孤立奇点 .~~~~~~~~~

例如 f ( z ) = e

1 z

----z=0为孤立奇点 为孤立奇点 ----z=1,2为孤立奇点 为孤立奇点

1 f ( z) = ( z 1)( z 2) 2f (z) = 1 1 sin z

----z=0及z=1/nπ (n = ±1 , ±2 ,…)都是它的奇点 及 都是它的奇点 都是它的

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1 但 ∵ lim = 0, ∴ 在 z = 0 不论多么小的去心 n→ ∞ nπ y 的奇点存在， 邻域内 , 总有 f ( z )的奇点存在，

1 sin z 的孤立奇点。 的孤立奇点。这说明奇点未 必是孤立的。 必是孤立的。

故z = 0不是

1

o

x

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如：0 不是 ln z的孤立奇点 , 只是奇点。 注：显然，若f(z)仅有有限个奇点，则必均为 孤立奇点。 分析：此时在去心邻域内

f ( z) =

n = ∞

cn ( z z 0 ) n = ∑

+∞

n = ∞

cn ( z z 0 ) n + ∑ cn ( z z 0 ) n ∑n =0

1

+∞

1 f ( z) 其中cn = ∫Cr ( z z0 ) n+1 dz (n = 0,±1, ), 2πi Cr为正向圆周 | z z0 |= r (0 < r < R)

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2. 分类展开式含负幂项的不同情况， 以下根据f (z)展开式含负幂项的不同情况，将孤立点 进行分类。考察： 进行分类。考察：sin z z2 z4 z 2n (1) = 1 + + ( 1) n + 3! 5! ( 2n + 1)! z

特点： 特点： 没有负幂次项 3 sin z 1 z z ( 2) 2 = + + z z 3! 5! 特点： 特点：只有有限多个负幂次项 1 1 2 1 n 1 z z + ( 3 )e = 1 + z + z + + n! 2! 特点： 特点：有无穷多个负幂次项

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的一个孤立奇点， 的去心邻域内， 定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 的一个孤立奇点 若f (z)的洛朗级数 的洛朗级数

( i ) f ( z ) = ∑ cn ( z z0 ) nn= 0

∞

没有负幂次项， 为可去奇点; 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点

( ii ) f ( z ) =

n= m∞

∑c∑c

∞

~~~~~~~~

n

( z z0 ) (c m ≠ 0, m ≥ 1)n

只有有限多个负幂次项， 阶极点; 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点 ~~~~~~~~

( iii ) f ( z ) =

n = ∞

n

( z z0 )

n

有无穷多个负幂次项， 为本性奇点。 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~

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sin z 如0是 z sin z z2 e1 z

z2 z4 = 1 + ... 的可去奇点 3! 5! 1 z z3 = + + ... 的1阶极点 z 3! 5! 1 1 1 = 1+ + + 3 + ... 的本性奇点 2 z 2! z 3! z

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3. 性质(定理 ) 性质(定理5.1)若z0为f (z)的可去奇点 的可去奇点

f (z) =

c n ( z z 0 ) n lim f ( z ) = c 0 ∑n=0 z → z0

+∞

补充定义： 补充定义： f ( z 0 ) = c 0+∞

f ( z )在 z 0 解析 .

若z0为f (z)的m (m ≥ 1) 阶极点 的

f (z) =

1 lim f ( z ) = ∞ f ( z ) = ( z) m z → z0 ( z z0 )

n= m

∑ c (z z )n 0

n

( c

m ≠ 0, m ≥ 1 )

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其中 : ( z ) = c m + c m +1 ( z z0 ) + c m + 2 ( z z0 ) + ,2

( z )在 z z0 < R内是解析函数, 且 ( z0 ) = c m ≠ 0.z2 3z + 2 例如： 例如： f (z) = 2 (z +1)(z 1)4z=1为f (z)的一个三阶极点， z=±i为f (z)的一阶极点。 为 的一个三阶极点， ± 为 的一阶极点。 的一个三阶极点 的一阶极点 推论(极点的阶的求法 推论 极点的阶的求法): 极点的阶的求法 若z0为f(z)的极点，则是m阶极点的充要条件是：z → z0

lim ( z z0 ) m f ( z )= c m存在且不为零

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z 例5.1 判定 f ( z ) = 2 的孤立奇点的类型 ( z 1)( z 2)

解：显然 z1 = 1, z 2 = 2 为f(z)的孤立奇点， 当 z → 1or 2 时 f (z ) → ∞ ,即都为极点， 又 lim( z 1) f ( z ) = limz →1

z = 1 ≠ 0, lim( z 2) 2 f ( z ) = 2 ≠ 0 z →1 ( z 2) 2 z →2

所以 z1 = 1为f(z)的一阶极点 , z 2 = 2 为f(z)的二阶极点 。

若z0为f (z)的本性奇点 的本性奇点

f ( z )的洛朗级数有无穷多项 负幂次项 lim f ( z )不存在，也不为 ∞z → z0

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4. 零点与极点的关系零点：若f(z)在z0的邻域内解析且f(z0)=0,则z0为f(z) 零点 的零点。此时设f(z)在该邻域内的泰勒展式为

f ( z ) = ∑ cn ( z z 0 ) nn =0

∞

(c0 = 0)

那么 1)当 c n = 0 , n = 1, 2 , 3 ,..., f ( z ) ≡ 0 ((2)当c1 , c2 , cn 不全为零时，总有cm ≠ 0, 而cn = 0(n < m), 则称z 0是f(z)的m阶零点，当m = 1称为简单零点。

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定理5.2 不恒等于0的解析函数 (z)以 z0为f (z) 的 定理 不恒等于 的解析函数f 以 的解析函数 m 阶零点的充要条件为f ( z ) = ( z z0 ) ( z )m

其中： 其中： ( z 0 ) ≠ 0, ( z )在 z 0点解析 , m ∈ Nz = 0与 z = 1分别是 f ( z ) = z ( z 1) 3的一阶 例如： 例如： 与三阶零点。推论：f(z)在z0 处解析,则z0为m阶零点的充要条件是：f ( n ) ( z0 ) = 0(n = 0,1,2, , m 1) f ( m ) ( z 0 ) ≠ 0.

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的零点。 例如 z = 0与 z = 1均为 f ( z ) = z ( z 1) 的零点。3

又 f ' ( z ) = ( z 1) 3 + 3 z ( z 1) 2

f " ( z ) = 6( z 1) + 6 z ( z 1)2

f ' ' ' ( z ) = 12( z 1) + 6( z 1) + 6 z∵ f ' ( 0 ) = ( 1) 3 ≠ 0 ∴ z = 0为一阶零点

∵ f ' (1) = 0

f ' ' (1) = 0

f ' ' ' (1) = 6 ≠ 0

∴ z = 1为三阶零点

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例5.3

考察f(z)=sinz-1的零点.

解: sin z 1在整个复平面上解析， π 令 sin z 1 = 0得全部零点：z = + 2kπ (k = 0,±1,±2, ) 2 因为 (sin z 1)' | z = π + 2 k π = 0 , (sin z 1)' ' | z = π + 2 k π ≠ 02 2

所以 z =

π2

+ 2 kπ全为 sinz - 1的二阶零点。

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1 定理5.3: 若 0是 (z)的 阶 点 z0是 定理 的 阶 点 m 零 . z f m 极 f (z)证明 “ ” 若z0为f (z)的m 阶极点 的

1 ( z ) ( ( z )在z0解析, 且 ( z0 ) ≠ 0 f ( z) = m ( z z0 )1 1 m ∴ = ( z z0 ) = ( z

z 0 ) mψ ( z ) f (z) (z) ( z ≠ z0 )

)

( ψ ( z )在z0解析, 且 ψ ( z0 ) ≠ 0 ).1 则 z 0是 的m阶零点. f ( z)

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1 “ ”若 z 0是 的 m 阶零点 , 则 f ( z)1 = ( z z0 ) m ( z ) f (z)

( ( z ) 在z0解析, 且 ( z0 ) ≠ 0 ).

1 1 1 ψ (z) 当z ≠ z0时，f ( z ) = = m m ( z z0 ) ( z ) ( z z0 )

( ψ ( z )在 z0 解析, 且ψ ( z0 ) ≠ 0 ).∴z0是 (z)的 阶 点 f m 极 .

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1 例5.4 考察f(z)= cos z 的孤立奇点，并指出类型。

解：奇点为cosz=0的点，zk = kπ +

π2

(k = 0,±1,±2, )

而(cos z )' | z = zk = sin( kπ + π ) ≠ 0 2 1 ∴ kπ + 2 是 cos z的一阶零点，从而是 的一阶极点。 cos zπ

说明：考察形如 的函数极点时，若Q(z)的零点不 是P(z)的零点时，由Q(z)的零点的阶数判定 P ( z ) 的极点 Q( z) 阶数；否则要另讨论。

P( z) Q( z)

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练习 求 (z) = f

z 的 点 奇 ， 2 πz (1+ z )(1+e )

如 是 点 出 的 。 果 极 指 它 阶解 显然， ± 显然，z=±i 是(1+z2)的一阶零点 的一阶零点

∵ e π z + 1 = 0, 即 e π z = 1 ∴ π z = Ln ( 1) = i (π + 2 kπ ) = ( 2 k + 1)πi 故零点为： z k = ( 2 k + 1)i∵ (1 + eπ z )'z =i ( 2 k +1)

k = 0, ± 1, ± 2,

= πeπ z

z =i ( 2 k +1)

= π [cos π (2k + 1) + i sin π (2k + 1)] = π ≠ 0∴ zk = i(2k + 1) (k = 0,±1,±2, )是1 + eπz的一阶零点

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综合 z = ± i 为 f ( z )的二阶极点 ;

z k = i ( 2 k + 1) 一阶极点 .

( k = 1, ± 2 , )为 f ( z )的

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5. 无穷远点为孤立奇点的定义、分类 无穷远点为孤立奇点的定义、定义： 若f(z)在无穷远点的某一去心邻域 D: R < Z < +∞ 定义 内解析，则称无穷远点为f(z)的孤立奇点。1 1 变换： f ( z ), 令z = , 记 (w) f( ) 设 = w w

f ( z) =

n = ∞

∑c zn

∞

n

R <| z |< ∞ ( w) =

n = ∞

∑c wn

∞

n

1 0 <| w |< R

定义5.2 称 z = ∞ 为f(z)的可去奇点、m阶极点或本性 定义 奇点，如果相应地w=0为 (w) 可去奇点、m阶极点 或本性奇点。

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结论： 若n>0时， n = 0 , 则 z = ∞ 为f(z)的可去奇点。 c 若对正整数m, c m ≠ 0 , c n = 0 ( n > m ), 则 ∞ 为f(z)的m阶极点。 若有无限多个n>0, cn ≠ 0, 则

∞ 为f(z)的本性奇点。

定理5.4 设函数f(z)在区域D: R < z < +∞ 内解析，则 z = ∞ 为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点的充要条件是：lim f ( z ) = c or lim f ( z ) = ∞ or lim f ( z )不存在也不为 ∞z →∞ z →∞ z →∞