2.2拉格朗日插值

§ 插值法2、插一值题对问数f函 x),(其数函形可式能复很杂不且利在计于算上 机,算运,假如 可以通过验实测 ,或 以可获得 f( )在x间区a ,b ] 量[ 的一上组n 个1不的点同a x 0 x 12 x xn b

的函数上 y值 i f(xi ),

i ,1,20 ,, n

否存在一个性能能良优、于计算便的数比如多项函函式P(数)

xP(

x )i yi

i0,,2 1, ,n并且用P (x近似)替f代( x )这是就插值题问 上,式为值条插件,称数P(函x) 函数f (为 x的插值函)数 果如(Px为多项)式函 则数称为插之多值项 ,式称点 ix ,i 0 1,2, , ,n为值插点节区间 称 ,a b为插值]区 [间 函如数y sni , x若给 定, ]05个等分点 [上其插值数的函图象图

如isxµn IJ åµÖ1

y

y0. 0.98 07.0. 6.05 .4 0.0 0.320.1 00

0.5

11.5 .512 2

.522 .

53 335. .3

5 xx x对于被插函 (数x) 和值函数 插 (x)f P在节点 i处x的函值必然数相 但等节点在外 ( )x的可能就值偏离 (会 x )P f 此P因 x(近)代似替 (x) 然存在必误差 着f 体整差误大的反小映插了值数的函坏好

插值法 * I/nteproalion t/* 精确当函 y数= (xf )非复杂或常知时，未一在 列系节点 0x … xn 测处得数函值y =0f( 0x, ) …y n= (fn),x由构此造一个简易算单的似函近数 P()x f (x,满)条件足(Px)i f(=x)i ( i 0=,… n)。这的里 (x) 称为fP(x )的插函数。值常 用的最插值数是函项式 多?…P()x fx(

x0

)1xx2

xx

x43

为使插了值数更函便在计方机上算算,运般插值函 一数使都用数多代式和有项理数函 本讨论章就是代的数插值项式 代数插值多多项式存的唯一在性函数设 yf (x) 区在间a, b]的上数代值多项插为 式[

P( x ) a0 a 1 x 2 x2a a nxn nn P xi ) (yi i 0,1, 2 , n,且足满

多项即P式 ( xn)的系数a 0,a1 , a2, a,n足满性方程线组 2 n0a a 1 x0 2 ax0 an x 0 0y n 2 a 0a1 1x a 2x 1 an 1 x y1 a a x a x2 a n x y 01 n 2 n n nn上述方程组系的数行列式为n+1V阶naedronm行d列式1x02 n x 0 x02 1n x1i x j 11 x xx V 1j ( x jxi ) 0i 0 i

1

nn1xn

2 n x n xn

定理 满 足P (ix ) yi 项式,唯是一存的在。i 0 ,. .., n次 数不过超n 的值多插注若不将多项：式数限制为 次n,则 插多项值不唯一。 式例 P如 (x ) L (nx ) p( x) x ( x ) 也是i个插值一 i 0n多项,其式中p ( x)可以是任意 多项。式虽线性然方组推程的出值插项式多存且在唯，一但 过解线通方程组求插性值多项却不是好式法。方

.22拉格 日多朗式项P ( xni )y i

,*/La ragng Peolnoymai l*/n 求 n 次多式 Pn项 x( ) a0

a1 x a nx 得使i ,0 .. ,.n

件：条重合节无点，即i j n1P= ( 1 0x) 0 ,yP 1( x1 ) y1 xi jx已知x , x1 0; 0y , y1*/ agLragen a0) , x 使得 为称氏基拉函数 求 ，1P (x B sisa * /1a 满条足 li(xj)件=ij / K*orncekreDel at* 可/ 见P(x)1是 过 x( 0 ,0y 和) x(, 11y) 点的直线。 两y 1 y 0 P1( x ) 0y ( x 0x )x1 x0

=x x1 y + x0 1 x0

x 0x y x x1 0

l 1 x( )yi 0

i1

il0(x

)l1x)(

The mahtemaictainS .ad ht omov toea n e wlapc. eiH wsie fddi'tntrus th i vemyr mcuh,s woeh nteyh stod doonwon tehst ert eiwht al lthire thigns s,e askehdhim t owatch th erit en tunkrs,while sh eogt a txa. ioSe mmniutes laerts h returned. Saide ht hesuabd: n"It huohgtyou aid sthre eerwet n trenku, sub tIv'eonl yc onteudto n nie" The!w if saei:d N"o ,hte'ry eEN!" TBut I"have co nued ttemh 0: ,, 12 ,.."

n.1

望希找l到k(),xk= 0 …,,n 得使lk (x)= kj j;然后n 令 nP( x ) lk x() yk , 显则然有P(xni) =i y。k 0

如

果 a0 x 1x 2 x x n为区间 ab ,b]的一上组点节[ 我作们一组次多项式lk ( x ), k 0, ,2,1 , n与 节点n有 关，与 而f无关 ( x x0 (x) x1) ( x k x )(1 xk 1x ) (x x n) lk( x) (kx x0 ) x( k x1 ) (x kxk 1 ) (k x k x ) ( xk1 xn ) ( x xi ) i 0 ( xk x )ini kk 0, ,1, , 2nn+1次多式项令 n1 x() ( x x 0) x( x ) 1(x n )

x 则 1 n(x k ) x(k x )(xk 01 x ()xk k x1 ()k xk x 1 )( k x nx)

从而( x x0 ) (x x 1) ( x xk 1 )x ( x k 1 ) ( x x n) lk ( x ) ( kx x )0(k x 1 ) x( xk xk 1 )( k xx 1 ) k xk( nx ) n 1 x(k )(x xk )

n 1 x)(k 0,1 2,, ,n然 显l0 x),l( 1(x )l2,( x), ,n l(x) 线 无关 性(请学同们考思

且

)1 k j lk (x j ) 0k j

k , j ,1,0, 2, n

于

,是y f (x) 在节点xi( i ,0,1, n) 上 以l,k (x) ( k 0 ,1,, n )为 插值基函的数插多值 式(项记L为n (x)) 为L n (x ) yl0 ( x0 ) y11l( )x ylnn( x)其中( x xi ) n 1 ( x) l k () x n1 (xk )( x k )xi 0( x kxi ) n i kLn () x y为 f x() Lag的rnage 插值多式称项l k( x ) (k 0, 1 ,, n) 为次Lnaragneg插值基 数

例函:

已知 ( xf)足f满( 144) 12 , (f169) 13 , f(225) 15作f ( x)二的L次graang 插e值多式项 并f (17求5)的近似值, .

:解设 x 0 14 4 ,1 169x, x2 252y 0 2,1 y1 13 y, 2 51则 (f x)二次La的ragneg 值基函数为(插x x1 ()x x2 ) (x 69 1) x( 2 5 2) 0 ( l ) x ( x0 x1 )( x0 2 x) 022 5( x 0x)( xx 2 ) (x 14 4)( x 252) l (1 x )( x1 x0 ) (x 1 x2 ) 14 0 (0x

x 0)( x 1x )( x 14 4) x ( 16 9 ) l2 ( x ) ( x2 x0 ( )2x x1 )4 356

因此f( )x二次的Largnaeg插值 多项式为2L( x) y0l (0 x y1)l 1( x) 2yl ( 2)x

且 f(15) 72 (L175) 1 2l0( 15) 713l (175)1 1 l5 (175) 2 132.0 318573在上例中如果只给出两个节点16,9和25,2可也以插作 多值项,即式1L次arangg插值e项式多,两有个值插函基数, 种插值这法称方La为raggen线插性,也可以在n+1个值节点中 相取的两个节邻作点线性插值假

设在区a间 b],上f ( x的)值多插项为 式 (n x [) L

令R n( )x f( )x L ( n)

显x然插在节点为值i (i ,0, ,1 )上n xR n (xi ) f x(i) L n(xi ) 0 i , 01,, ,n 因此nR (x )在a[ b,]上至有少n 个零1点设 其中

n R( x) K( x) n 1 (x

n)1 x( () x 0x )( x 1x ( x) xn ) K ()为x定函待数R ( xn) f ( x) Ln( x) K (x) n 1( x)

f( x) nL( x) K (x ) n 1 x() 0 若入辅助引函 数t ( f) t )( nL(t ) K x()n (t 1 ) 则 有(x ) f( x) n (L )x K ( x n) (1x )

注意0与t x的区分且 (xi ) f (xi Ln)( ix ) K (x) n 1 (xi ) n R(x )i (Kx) 1n( xi ) 0i 0, , 1 ,n此因 ,令若x x i , ( t)在间区 , b]a上少至n 有 个零2 点即[

,( x) 0 , ( xi ) 0 ,i 0,,12,, n由 于Pn( )和 nx1 x)(多为项 式此因若f( x 可微),则 ( )也可t ,微

根据ollR定理e, (t) 在间(区,a b上)有少n至 个1点零再由Rloe定l,理 (t )在 区(a间 b,上有至少n个零点)依 此类推区间 a在,b )内少至一有点 个,使得 (t 的n ) 1阶导 为零数 ( ( n1) () 0

(t ) f(t ) P (tn )K( x )n 1( t )由 于此

( 因 ( n 1 ()t) f ( 1n) t( ) L nn ()1( t) K ( ) xnn1) (1t ) ((n 1)( ) f(n ) (1 ) L nn(1 ) () K( x )n n1) 1( )

f (n 1) ( ) K ( x) (n 1 !) 0

以所f ( n) 1 () K ( ) x(n )1!f ( n1 )( )Rn ( ) x K (x) n 1( x ) 1n (x )( 1)n!称Rn x)为(值多插项式n ( x) 的余(截项误差断 P)

[理： 定设 (fx)在 区 间,a b]上n 1阶可微 ,L ( x)nf为 x(在[),a ]b上的 次插n多值项 插值节式为 xi点} ni 0 [a, b],则 x [a,b], 有 ,{f( n 1 ) () Rn (x) n (1x) n ( 1)!

Lngraang型e项余

中 其n 1 (x) (x x i ) , (a b),, 且赖于x.依i 0

设

M n 1 max f |( n 1 ) ( x|)a x

b N n 1 n 1( x )| |( x x i|)| i 0

则n f( n ) 1 ( ) n 1 x() |Rn( x ) ( | n1)

!

M n 1n ( 1)x ( n 1)! 1 M n 1 N n1(n 1)!

注： 通 常不能定确 , 而 是估计

(f n1 )( x ) Mn , x ( ,ab )1

Mn 1 n 将( 1)! n| x x i|作 为误估计差上限 。 i 0 当 f(x) 为一个次数 任 n的多项式 ， f时 (n1)

( x) ,

可0 知Rn x() 0,插即值项多对于式次数 n 的多 式项是精确的。uiQz :定 xi给 = i+1 ,i 0= ,,12, 3,4, 5 .下哪面个是 2l()x的像？图y

10. -5

A1.50- y

B105.

y-C

-005 -.1

2

3

4

65

x0 0-.5

1-2

3

4

56

x0 -0. 5-

1

234

5

6

x例

:已知sin 1 , si n 1 ,s i n 3 6 2 4 23 02

别利分用s n xi 1的、次次2L agarge n值计算 sin 插50 并5估计差误。 05

81解 : n=

x21 1x 用利x0 , x 1 1 L( x ) x /4 1 x / 6 1 6 4 / 6 / 42 /4 / 6 2 si n50 0 L1( 5 ) 0.76174这里 f(x) isxn f,( 2) ( x) isn x ,x ( , 1) 8内插常通优外于。选择 推 63 ( ) 2 (f x )而 1要算计3的x 所在 的间区x的 ()x ) si n x , R1 ( x) ( 2 22 !6 4点，端值效果较好。 s插n i05 = 0766044.4 … .010193 R1 ( 5 ) 0.0 702 618外 推* ex/rtapoalito *n /实际的误差 00.1001分别用利0, x1 x以 及1, xx2 计算x

0

利 用1 x , x 2

43~0.0 508 3R 15 000.660 sn i5 0 .076008, 18 内插 /*in etprlatooin* /实的误差际 0 00.956