第6章 二次型及其标准形

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第六章 二次型及其标准型§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型

§6.3 正定二次型与正定矩阵

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§6.1 二次型其次标准形引言 判别下面方程的几何图形是什么？2x2

3 xy y

2

10

(1 )

作旋转变换~ ~ x cos( ) x sin( ) y ~ ~ y sin( ) x cos( ) y ,

6

代入(1)左边，化为：~2 ~2 5 ~2 1 ~2 x y x y 10 1 2 2 4 20

见下图

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y

~ y

x

~ x

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定义 含有n个变量

x1 , x 2 , , x nn

的二次齐次函数(aji

f x 1 , x 2 , , x n

a ij x i x ji, j 1

a ij )

称为n维(或n元)的二次型. 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！

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例如： f ( x , y ) x 2 4 x y 5 y 2

2 2 f ( x , y , z ) 2 x y xz yz 都是二次型。 f ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 4 f (x, y) x y 52 2

f (x, y) 2 x y 2 x2 2

不是二次型。 2 2 2

只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 k 2 y 2 k n y n称为二次型的标准形。f x1 , x 2 , x 3 x1 4 x 2 4 x 32 2 2

为二次型的标准形。

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取 a ij a ji

则 2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x i x j

则(1)式可以表示为f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n2

a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n2

a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n )2

二次型用和号表示

i , j 1

n

a ij x i x j

x n ( a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n )

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a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n a 11 a 21 ( x 1 , x 2 , , x n ) a n1 a 12 a 22 a1n a2n a nn x1 x2 xn

an2

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令

A

a 11 a 21 a n1

a 12 a 22

an2

a1n a2n a nn

X

x1 x2 xn

则 f X T AX 其中 A 为对称矩阵。

二次型的矩阵表示(重点)

注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i 1,2, , n i 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .

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例如：二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 3 x 3 4 x 1 x 2 x 2 x 32 2

1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) -2 0

-2 0 1 /2

0 x1 1 /2 x2 -3 x 3

注：二次型

对称矩阵f XT

定义2: 二次型

AX

把对称矩阵 A

称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩

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例1

写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。 1 f ( x1 , x 2 , x 3 ) [ x1 , x 2 , x 3 ] 4 7 2 5 8 3 x1 T 6 x 2 x Bx 9 x3

解

f x 1 5 x 2 9 x 3 6 x 1 x 2 10 x 1 x 3 14 x 2 x 3

2

2

3

1 [ x1 , x 2 , x 3 ] 3 5 r( f ) r( A ) 2

3 5 7

5 x1 T 7 x 2 x Ax 9 x3

问： 在二次型

f x

T

Ax

中,如不限制 A对称, A唯一吗?

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定义 只含平方项的二次型f k1 x1 k 2 x 2 k n x n2 2 2

k1 [ x 1 , , x n ]

x1 kn xn

称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在 1 , 1 , 0 中取值的标准形f x1 x2 2 p

x

2 p 1

xr

2

称为二次型的规范形。 (注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。)

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目的：对给定的二次型f x 1 , x 2 , , x n

a ij x i x ji, j 1

n

(1 )

找可逆的线性变换(坐标变换): x 1 c 11 y 1 c 12 y 2 c 1 n y n x 2 c 21 y 1 c 22 y 2 c 2 n y n ( 其中 C ( c ij ) 可逆 ) x n c n 1 y 1 c n 2 y 2 c nn y n

代入(1)式，使之成为标准形f 2 k 1 y1

2 k2 y2

2 kn yn

称上面过程为化二次型为标准形。

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第六章 二次型及其标准型§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型

§6.3 正定二次型与正定矩阵

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一、 非退化线性变换(可逆线性变换) 设

若

简记

当C 是可逆矩阵时, 称

为可逆线性变换。

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对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 即二次型f XT

为什么研究可逆 的变换？

AX

i , j 1

n

a ij x i x j

经过可逆线性变换 X CY 使得 f k1 y1 k2 y2 kn yn2 2 2

即经过可逆线性变换X CY 可化为 f X T AX ( CY ) T A ( CY ) Y T ( C T AC )Y令B C AC , B diag (k1 , k2 , , kn )T

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矩阵的合同： 两个 n 阶方阵 A 、 B , 若存在可逆矩阵使得 B C AC , 则称 A 合同于T

C,

B.

记作 A B 定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则(1 ) (2) B C AC 仍是对称矩阵T

r(B ) r( A)T

证明

(1) B

( C AC )TT

T

C A ( C ) C AC BT T T TT

(2) B C AC

因 为 C可 逆

所以 r ( B ) r ( A )

注：合同仍然是一种等价关系 矩阵合同的性质：(1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性

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二. 化二次型为标准形目标：二次型 f X

AXT

1. 正交变换法(重点) 2. 配方法

标准形

可逆线性变换

X CY

f Y ( C AC )YT T

k 1 y1 k 2 y 2 k n y n2 2

2

Y YT

问题转化为： 求可逆矩阵

C ,使得

C AC 为对角矩阵

T

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回忆： 对于任意实对称矩阵使得， T 1

A , 总存在正交矩阵

T,

AT T T E,T

又 T 为正交矩阵，即所以 T 1

T

T

所以， 对于任意实对称矩阵使得， T AT T

A , 总存在正交矩阵

T,

此结论用于二次型

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主轴定理 (P191 定理6.2.1)任给二次型 f

a ij x i x j a iji, j 1

n

a

ji

, 总有

正交变换

x Py , 使 f 化为标准形f 1 y1 2 y 2 n y n ,2 2 2

其中 1 , 2 , , n 是 f 的矩阵 A ( a ij ) 的特征值

.

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1. 正交变换法对二次型 定理： 存在正交变换 ，使

其中

为

的特征值。

其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。

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例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。

解(1)写出二次型 f 的矩阵

(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量