同济六版高等数学第一章第八节课件

高等数学第一章课件

§1.8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性 二、函数的间断点

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一、函数的连续性变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义. 在邻域U(x0)内, 若自变量x从初值x0变到终值x1, 则称 x=x1 x0为自变量x的增量. 称 y=f(x0+ x) f(x0)函数y的增量为. y x

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函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义, 如果 x→0

lim y =0 , 或 lim f (x)= f (x0) ,x→x0

那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续.

提示: y=f(x0+ x) f(x0). 设x=x0+ x, 则当 x→0时, x→x0, 因此 x→0

lim y =0 lim [ f (x) f (x0)]=0 lim f (x) = f (x0) .x→x0 x→x0

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函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义, 如果 x→0

lim y =0 , 或 lim f (x)= f (x0) ,x→x0

那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续. 讨论: 如何用ε δ 语言叙述函数的连续性定义？ 提示: lim f (x) = f (x0)x→x0

ε >0, δ >0, 当|x x0|<δ, 有|f(x) f(x0)|<ε .

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函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义, 如果 x→0

lim y =0 , 或 lim f (x)= f (x0) ,x→x0

那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续. 左连续与右连续

如果 lim f (x)= f (x0) , 则称y=f(x)在点x0 处左连续.x→x0

如果 lim+ f (x)= f (x0) , 则称y=f(x)在点x0 处右连续.x→x0

结论 函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x)在点x0处左连续 且右连续.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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连续函数 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的 连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数举例 1. 多项式函数P(x)在区间( ∞, +∞)内是连续的. 这是因为, 函数P(x)在( ∞, +∞)内任意一点 x0处有定 义, 并且x→x0

lim P(x) =P(x0) .

注: 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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连续函数 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的 连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数举例 2. 函数 y=sin x 在区间( ∞, +∞)内是连续的. 这是因为, 函数y=sin x在( ∞, +∞)内任意一点x处有 定义, 并且 x→0

lim y = lim [sin(x+ x) sin x]= lim 2sin x cos(x+ x)=0 . x→0 2 2 x→0

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二、函数的间断点 间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提 下, 如果函数 f(x)有下列三种情形之一: (1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但 lim f(x)不存在; (3)虽然在x0有定义且 lim f(x)存在, 但 lim f(x)≠f(x0); 则函数 f(x)在点x0不连续, 而点

x0称为函数 f(x)的不连续点 或间断点.x→x0 x→x0 x→x0

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间断点分类: 间断点分类第一类间断点: 第一类间断点 及 若 若 第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 , 无穷间断点 x0 为无穷间断点 . 均存在 , 称 称

x0为可去间断点 .x0 为跳跃间断点 .

若其中有一个为 ∞, 称

若其中有一个为振荡 , 称首页 上页 返回

x0 为振荡间断点 . 振荡间断点下页 结束 铃

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间断点举例

所以点x = π 是函数 tan x 的间断点. 2 因为 lim tan x =∞ ,x→π 2

例1 正切函数 y=tan x 在x = π 处没有定义, 2

故称x = π 为函数 tan x 的无穷间断点. 2

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间断点举例 例2 函数 y =sin 1 在点 x=0 没有定义, x 所以点x=0是函数的间断点. 当x→0时, 函数值在 1与+1之间变动无限多次, 所以点x=0称为函数的振荡间断点.1 y=sin x

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间断点举例

x2 1 x 1 例3 函数 y = 在 = 没有定义, x 1 所以点x=1是函数的间断点. x2 1 =lim(x+1 =2 ) , 因为lim x→ x 1 1 x→1 : x=1 y=2, 如果补充定义: 令x=1时y=2, 则所给 函数在x=1成为连续, 所以x=1称为 该函数的可去间断点.x 2 1 y= x 1

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间断点举例

x 例4 设函数 y= f (x)= 1 2 因为lim f (x) =lim x =1,x→ 1 x→ 1

x≠1 x=1

.

1, f (1 = ) 2 lim f (x) ≠ f (1 , )x→ 1

所以x=1是函数f(x)的间断点. 如果改变函数f(x)在x=1处的定义: 令f(1)=1, 则函数在 x=1成为连续, 所以x=1也称为此函数的可去间断点.

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间断点举例

x 1 x < 0 例5 设函数 f (x) = 0 x =0 . x+1 x > 0 ) 因为 lim f (x)= lim (x 1 = 1,x→0 x→0 x→0+x→0

lim f (x)= lim (x+1 =1, )x→0+x→0

lim f (x) ≠ lim+ f (x) ,

所以极限lim f (x) 不存在, x=0 是函数 f(x)的间断 …… 此处隐藏：980字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……