秋九年级数学上册 第4章 4.1 正弦和余弦 第1课时 正弦及30°角的正弦值同步练

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第4章 锐角三角形函数

4.1 正弦和余弦

第1课时 正弦及30 °角的正弦值

知识点 1 正弦的定义

1．如图4－1－1，在△ABC 中，∠C ＝90°，则∠A 的正弦值可以表示为( )

A.AC AB

B.BC AB

C.BC AC

D.AC BC

2．2017·日照在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为(

) A.513 B.1213 C.512 D.125

图4－1－1

图4－1－2

3．根据图4－1－2填空：

(1)sin A ＝（ ）AC ＝BC

（ ）；

(2)sin B ＝CD （ ）＝（

）AB .

4．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，求∠B 的正弦值．

桑水

知识点 2 30°角的正弦值

图4－1－3

5．如图4－1－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，设BC ＝x ，则AB ＝2x ，sin30°

＝sin A ＝（ ）AB ＝（ ）（ ）

＝________． 6．计算：3sin30°－||－5＝________．

7．教材练习第2题变式如图4－1－4，点A (t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为

α，sin α＝45

，则t 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．

5

图4－1－4

图4－1－5

8．如图4－1－5，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为________．

9．如图4－1－6，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .

(1)求证：△ACD ∽△CBD ；

(2)若AD ＝2，AB ＝6，求CD 的长和sin A 的值．

图4－1－6

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，请你根据正弦的定义证明：sin2A＋sin2B＝1.

桑水

桑水

1．B

2．B [解析] 在Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC ＝AB 2－AC 2＝12，∴sin A ＝BC AB ＝1213

. 3．(1)CD AB (2)BC AC [解析] 根据正弦的定义求解．

4．解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，

∴根据勾股定理可得AC ＝7，

∴sin B ＝AC AB ＝74

. 5．BC x 2x 12 6.－72

7.B 8.55

[解析] 如图所示，延长AC 交网格于点E ，连接BE .∵AE ＝2 5，BE ＝5，AB ＝5，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴△ABE 是直角三角形且∠AEB ＝90°，∴sin A ＝BE

AB ＝55

. 9． (1)证明：∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .

又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，

∴△ACD ∽△CBD .

(2)∵△ACD ∽△CBD ， ∴CD BD ＝AD CD

，

∴CD 2＝AD ·BD ＝2×(6－2)＝8，

∴CD ＝2 2.

在Rt△ACD 中，由勾股定理得AC ＝2 3， ∴sin A ＝CD AC ＝2 22 3＝23＝63

. 10．证明：在Rt△ABC 中，设a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边．∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c

2＝1，即sin 2A ＋sin 2B ＝1.