2013届高考理科数学一轮复习课件：3.3 导数的应用(二)――极值与最值

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第三章 导数及其应用

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第3课时 导数的应用(二)——极值与最值

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理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、 极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载 体求参数的范围.

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请注意！

极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且 考查形式较多.

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1.函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0 附近有定义， 如果对 x0 附近的所 有的点，都有 f(x) < f(x0),那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大 值，记作 y 极大值=f(x0);如果对 x0 附近的所有的点，都 有 f(x) > f(x0),那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.

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(2)当函数 f(x)在 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大(小)值 的方法： 如果 x< x0 有 f′(x) > 0, x0 有 f′(x) < 0, x> 那么 f(x0) 是极大值； 如果 x< x0 有 f′(x) < 0, x0 有 f′(x) > 0, x> 那么 f(x0) 是极小值.

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2.求可导函数 f(x)极值的步骤 (1) 求导数 f′(x) ; (2) 求方程 f′(x)=0 的根. (3)检验 f′(x)在方程 f′(x)=0 的 根左右的值 的符 号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y=f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果在根的左侧附近 为负，右侧附近为正，那么函数 y=f(x)在这个根处取得

极小值.

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3.函数的最值的概念 设函数 y=f(x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可 导，函数 f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫 做函数 y=f(x)的最大(最小)值.

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4.求函数最值的步骤 设函数 y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求 f(x)在[a,b]上的最值，可分两步进行： (1) 求 f(x)在(a,b)内的极值 ； (2) 将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

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1.(2011· 广东)函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________ 处取得极小值.

答案 2

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解析 由题意知， f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), f′(x) 令 =0 得 x=0 或 x=2, f

′(x)>0 得 x<0 或 x>2, f′(x)<0 由 由 得 0<x<2,∴f(x)在 x=2 处取得极小值.

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2.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最 大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )

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A.-37 C.-5

B.-29 D.以上都不对

答案 A

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解析 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), ∴f(x)在(-2,0)增，(0,2)减，∴x=0 为极大值点，也 为最大值点，∴f(0)=m=3,∴m=3, f(-2)=-37,f(2)=-5. ∴最小值是-37,选 A.

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3.若函数 y=ex+mx 有极值，则实数 m 的取值范围 ( ) A.m>0 C.m>1 B.m<0 D.m<1

答案 B解析 y′=ex+m,则 ex+m=0 必有根，∴m= -ex<0.

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