正十七边形尺规作图

讲解最清楚的，我试过了，思路很清晰

步骤一：

给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，

作C点使OC＝1/4OB，

作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，

作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

步骤二：

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，

再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：

过G4作OA垂直线交圆O于P4，

过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

历史

最早的十七边形画法创造人为高斯。高斯(1777~1855年)，德国数学家、物理学家和天文学家。在童年时代就表现出非凡的数学天才。三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。

1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。

道理

讲解最清楚的，我试过了，思路很清晰

当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。

正十七边形的证明方法

正十七边形的尺规作图存在之证明:

设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a

故sin16a=-sina,而

sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

因sina不等于0,两边除之有:

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有

2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有:

x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

经计算知xy=-1

又有

x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4

其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=(-1+根号17)/4

y1+y2=(-1-根号17)/4

最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出