2010高考知识点——函数的奇偶性和单调性

2010高考知识点

高1 第2讲 函数的奇偶性和单调性

一、要点 疑点 考点

1. 函数的奇偶性

（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；

（2）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；

（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

2. 具有奇偶性的函数图象特点

一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

3. 函数奇偶性的判定方法

(1)根据定义判定 首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)。有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1。

(2)利用定理 借助函数的图象判定。

(3)性质法判定

①在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)。

②偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同。

4. 函数的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.

5. 单调区间

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

6. 用定义证明函数单调性的步骤

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证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：

(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；

(2)作差：f(x1)-f(x2)；

(3)判定差的正负；

(4)根据判定的结果作出相应的结论.

7. 复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间

二、课前热身

1. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3≤x≤1)是偶函数，则a∈___，b∈____，c∈___。

2. 设f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数，且f(1)＞1，f(2)=a，则( )。

(A)a＞2 (B)a＜-2 (C)a＞1 (D)a＜-1

3. 已知奇函数f(x)在x＞0时的表达式为f(x)=2x-1/2，则当x＜-1/4时，有( )。

(A)f(x)＞0 (B)f(x)＜0 (C) f(x)+f(-x)＜0 (D) f(x)+f(-x)＞0

4 x2

4. 函数f x 的奇偶性是( )。 x 2

5.

6.

7. (A)奇函数 (B)偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶 已知y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x)的图象关于( ) 。 A.直线x+1=0对称 B.直线x-1=0对称 C.直线x-1/2=0对称 D.y轴对称 下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( )。 (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0) (C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x) 定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)

的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式：①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a) 其中成立的是( )。

(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④

如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是

( )。

(A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3) 8.

9. 函数f x 1 x1 x的减区间是__________；函数f x 的减区间是_______。 1 x1 x

10. 函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( )。

A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]

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三、能力 思维 方法（典型例题分析）

1. 判断下列函数的奇偶性，并说明.

22（1）f(x) (2x 5) (2x 5)

x2

（2）f(x) x 2 2

（3）f(x)

（4）f(x) lg( x2 x)

（5）f(x) (x 1)

3 x 3x,当x 0时（6）f(x) 3 x 3x,当x 0时 x2 1 x2 1 x 1 x

2. 对于函数f(x) 2x (1 a)，是否存在这样的实数a，使f(x)是偶函数或奇函x2 1

数？

3. 讨论函数f(x)=2x+1/x在x>0上的单调性。

4. 求函数y 4 2 1的单调递减区间。

xx

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四、延伸 拓展（课堂同步测试）

1. 已知偶函数f(x)的定义域为R，它在 0, 上是减函数，且f(1-a)-f(a2-2a)<0，求实

数a的取值范围。

2. 设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x，y有f(x+y)=f(x)+f(y)，

（1）求证f(x)是奇函数；

（2）若当x>0时，有f(x)>0，求证f(x)是增函数。

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