数值分析常用的插值方法

数值分析 报告

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常用的插值方法

序言

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f（x0），……f（xn），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝（fxi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处（fx）称为被插值函数，x0，x1，……xn称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。

求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit插值，分段插值和样条插值。

一．拉格朗日插值

1.问题提出：

已知函数y f x 在n+1个点x0,x1,

x 的函数值f x 。

,xn上的函数值y0,y1,,yn，求任意一点

说明：函数y f x 可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值f x 。 2.解决方法：

构造一个n次代数多项式函数Pn x 来替代未知（或复杂）函数y f x ，则用Pn x 作为函数值f x 的近似值。

2设Pn x a0 a1x a2x

anxn，构造Pn x 即是确定n+1个多项式的系数

a0,a1,a2,,an。

3.构造Pn x 的依据：

当多项式函数Pn x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数

Pn x 逼近于原来的函数f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：

a0 a1x0 a2x02

2 a0 a1x1 a2x1

2 a0 a1xn a2xn

anx0n y0 anx1n y1 anxnn

yn

其系数矩阵的行列式D为范德萌行列式：

x0

D

x1xn

x02x12xn2

x0nx1nxnn

n i j 0

x x

i

j

故当n+1个点的横坐标x0,x1,,xn各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D不等于

零，故方程组有唯一解。即有以下结论。 结论：当已知的n+1个点的横坐标x0,x1,

,xn各不相同时，则总能够构造唯一的n

次多项式函数Pn x ，使Pn x 也过这n+1个点。 4.几何意义

5．举例：

已知函数f

x f 115 。

分析：本题理解为，已知“复杂”函数f

x x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11,12，当x=115时，求函数值f 115 。

解：

（1）线性插值：过已知的（100,10）和（121,11）两个点，构造1次多项式函数P1 x ，于是有

P1 x

x 121x 100

10 11

100 121121 100

则

f 115 P1 115 10.71428571428572。

（2）抛物插值：构造2次多项式函数P使得它过已知的（100,10）（121,11）、2 x ，和（144,12）三个点。于是有2次拉格朗日插值多项式：

x 121 x 144 x 100 x 144 x 100 x 121 P2 x 10 11 12100 121100 144121 100121 144144 100144 121

则有

f 115 P2 115 10.72275550536420 6.拉格朗日n次插值多项式公式：

Pn x

x x1 x x2

x0 x1x0 x2x x0 x x2

x1 x0x1 x2

x xn yx0 xn0 x xn yx1 xn1

x x0 x x1 x xn 1 ynx xx

xx xn0n1nn 1Pn x l0 x y0 l1 x y1

ln x yn lk x yk

k 0

n

其中lk x 称为基函数（k=0,1, .,n），每一个基函数都是关于x的n次多项式，其表达式为：

lk x

j 0j k

n

x xjxk xj

拉格朗日公式特点：

1．把每一点的纵坐标yk单独组成一项；

2.每一项中的分子是关于x的n次多项式，分母是一个常数； 3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是： 分子是 x

，而分母是 xk

f n

Pn x f x x xk ， n 1!k 0

n 1

7.误差分析（拉格朗日余项定理）

其中 在x0,x1,,xn,x所界定的范围内。

针对以上例题的线性插值，有

f P 115 100 115 121 1 115 f 115

2!

函数f x 在[100,115]区间绝对值的极大值为f 100 2.5 10 4， 则有：

P1 115 f 115 0.01125 0.05

于是近似值f 115 P1 115 10.71428571428572有三位有效数字。 针对以上例题的抛物线插值，有

P2 115 f 115

f

115 100 115 121 115 144 3!

函数f x 在[100,115]区间绝对值的极大值为f 100 3.75 10 6，则有

P2 115 f 115 0.00163125<0.005

于是近似值f 115 P2 115 10.72275550536420有四位有效数字。 8.拉格朗日插值公式的优点

公式有较强的规律性，容易编写程序利用计算机进行数值计算。 9. 拉格朗日插值通用程序 程序流程图如下：

y

文件lagrange.m如下： %拉格朗日插值 close all

n=input('已知的坐标点数n=?'); x=input('x1,x2,...,xn=?'); y=input( …… 此处隐藏：3703字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……