2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北 京 交 通 大 学

2013~2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）

参 考 答 案

某些标准正态分布的数值

其中 x 是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分8分）

某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为0.4、0.35和0.25，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为0.5、0.65和0.45．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率． 解：

设B “钥匙被找到”．

A1 “钥匙掉在宿舍里”，A2 “钥匙掉在教室里”，A3 “钥匙掉在路上”． 由Bayes公式，得

P A P BA PAB

P A P BA

3

3

3

3

i

i

i 1

0.25 0.45

0.208．3

0.4 0.5 0.35 0.65 0.25 0.45

二．（本题满分8分）

抛掷3枚均匀的硬币，设事件

A 至多出现一次正面 ，B 正面与反面都出现

判断随机事件A与B是否相互独立（4分）？如果抛掷4枚均匀的硬币，判断上述随机事件A与B是否相互独立（4分）？ 解：

⑴ 如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为23 8．

41633 ，P B ，P AB ， 82848

313

所以有 P AB P A P B ，因此此时随机事件A与B是相互独立的．

824

P A

⑵ 如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为24 16．

514741

，P AB ， ，P B

16168164

157

所以有 P AB P A P B ，因此此时随机事件A与B不是相互独立的．

4168

P A

三．（本题满分8分）

设随机变量X的密度函数为

4 1 x 30 x 1

f x ．

0其它

求：⑴ E X （4分）；⑵ P X E X （4分）． 解： ⑴ E X

1

xf x dx x 4 1 x dx

3

1

4

x 3x

2

31 1 1

3x3 x4dx 4 1 0.2．

45 5 2

⑵ P X E X P X 0.2

1

0.2

4 1 x dx

3

1

1

3214 256 233

0.4096． 4 1 3x 3x xdx 4 x x x x

24625 0.20.2

四．（本题满分8分）

某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X（单位：千升）是一随机变量，其密度函数为

4 1 x 1 0 x 100 f x 20 100 0其它

试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在2%以下？ 解：

设该加油站每次的储油量为a．则由题意，a应满足0 a 100，而且

P X a 0.02．

而 P X a

f x dx

a

a

100

1 x a

f x dx f x dx 1 dx 1 ．

20100100 100a

100

45

a

所以，应当有， 1 0.02．

100 所以，得 1

aa 50.02，即 1 50.02 ， 100100

5

a 55（千升）因此有 a 100 1 0.02 54.269494．因此可取，即可使一周内断油的概81

率控制在5%以下．

五．（本题满分8分）

设平面区域D是由双曲线y

1

， x 0 以及直线y x，x 2所围，二维随机变量 X,Y 服从x

；⑵ 随机变量Yy （4分）

区域D上的均匀分布．求：⑴ 二维随机变量 X,Y 的联合密度函数f x,的边缘密度函数fY y （4分）． 解：

⑴ 区域D的面积为

1

A x dx 2x2 lnx

x 1

2

2

1

6 ln2，

所以，二维随机变量 X,Y 的联合密度函数为

1

y 6 ln2

0

f x,

1

x 1时， 2

x, x,

y Dy D

．

⑵ 当

fY y

f x,

2

11 1

y dx dx 2 ； 6 ln216 ln2 y

y

当1 x 2时， fY y

f x,

11

2 y ． y dx dx 6 ln2y6 ln2

2

所以，随机变量Y的边际密度函数为

1 1 1

2 y 1 y 2 6 ln2

1

2 y 1 y 2 ． fY y

6 ln2 0其它

六．（本题满分8分）

设随机变量X与Y满足：va X,Y 1，再设随机变量U 2X 3Y，rY 4，covrX 2，va

V 3X 2Y，求二维随机变量 U,V 的相关系数 U,V．

解：

var U var 2X 3Y 4var X 9var Y 12cov X,Y 4 2 9 4 12 32， var V var 3X 2Y 9var X 4var Y 12cov X,Y 9 2 4 4 12 22， cov U,V cov 2X 3Y,3X 2Y

6var X 6var X 4cov X,Y 9cov X,Y 6 2 6 4 13 1 23． 所以，二维随机变量 U,V 的相关系数为 U,V

cov U,V 2323

． 0.8668451157

varUvarV228七．（本题满分8分） 设 X1,

X1 X2

（不X2 是取自正态总体N0, 2中的一个样本．试求随机变量Y X X 的分布．

2 1

2

必求出Y的密度函数，只需指出Y是哪一种分布，以及分布中的参数即可．） 解：

由于X1~N0, 2，X2~N0, 2，而且X1与X2相互独立，所以 X1 X2~N0,2 2，X1 X2~N0,2 2．

vX1 X2,由于 co 而且 X1 X2,

X1 X2 va rX1 va rX2 0，

X1 X2 服从二元正态分布，所以X1 X2与X1 X2相互独立．

2

2

2

2

X X2 X X2 X X2 X X2 22

所以， 1 ~ 1 ， 1 ~ 1 ；而且 1 与 1 相互独立．

2 2 2 2

2

X1 X2

所以，Y X X

2 1

八．（本题满分8分）

X1 X2

2 ~F 1,1 ． 2

X1 X2

2

2

某射手射击，他打中10环的概率为0.5，打中9环的概率为0.3，打中8环的概率为0.1，打中7环的概率为0.05，打中6环的概率为0.05．他射击100次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率．

（附表：标准正态分布分布函数 x 的 …… 此处隐藏：2545字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……