2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(1(5)

2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例)

222检验，当0<a6π时，T′(a)>0；当a<2π时，T′(a)<0，所以当a＝π时，

333

T(a)取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且T(a)取得最大值时，V也就取得最大值，

2所以当a＝π时，漏斗的容积最大．

3

1

解法二：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2＋h2＝R2，因此V(r)＝r2h

3

11

＝πr2R－r＝πr－r(0<r<R)．令T(r)＝R2r4－r6，求它的导数T′(r)＝4R2r3－6r5.33

66

再令T′(r)＝0，即4R2r3－6r5＝0，求得r＝，可以检验当r＝R时，T(r)取得最大值，

33

66226

也就是当r＝时，V(r)取得最大值．再把rR代入Ra＝2πr得a＝所以当a＝

3333

π时，漏斗的容积最大．

12．[解答] 设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．

由题意知所需输电线的长l为：l＝AC＋BC＝1＋x＋1.5＋ 3－x (0≤x≤3)，

－2 3－x 2x

l′＝，

1＋x21.5＋ 3－x 3－xx

令l′＝0，得＝0，

1＋x1.5＋ 3－x 3－xx

即， 1＋x1.5＋ 3－x

2

3－x 2x

，

1＋x1.5＋ 3－x 1．52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2， 1．52x2＝(3－x)2,1.5x＝3－x， 2．5x＝3，x＝1.2，

故当CD＝1.2(km)时所需输电线最短． 【难点突破】

1

13．[解答] (1)由已知m＝，

200

1x

f(x)ln(2x＋1)x>0，

2200

199－2x11

∴f′(x)＝＝2x＋1200200 2x＋1

由f′(x)>0，即199－2x>0，解得0<x<99.5， 即加工产品订单金额x∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x的增加不断增长．

11

(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10,20]时，都有ln(2x＋1)－mx≥x，

220

ln 2x＋1 111

由ln(2x＋1)－mx≥x，得＋m≤220202x

ln 2x＋1

令g(x)＝x∈[10,20]，

2x2x－ln 2x＋1 2x＋1

则g′(x)＝

2x2x－ 2x＋1 ln 2x＋1 ＝.

2x 2x＋1

令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)，

2 2ln 2x＋1 ＋ 2x＋1 则h′(x)＝2－2x＋1 ＝－2ln(2x＋1)<0，