线性代数很简单(2)

线性代数方法

5）
有了向量，就可以用向量组表示线性方程组了！
定义解释
线性组合：就是一组线性方程组方程之间相互加减。
线性表示：就是一个新的方程可以用一组线性方程组的相互加减得到。
线性相关：就是被上面线性表示的方程出现在方程组里。
线性无关：就是这几个方程就像过滤剩下的精华，它们之间不能相互表示，就是没有多余的方程！
定理1：向量b能有向量组A表示，则R(A)=R(A|b)
重大误区：许多人理解这个概念时，直接理解成为第二章的线性方程组解的判定，这是重大的错误！原因如下：
第二章是用矩阵讨论线性方程组的解，得到的方程组的解的内容。这里是讨论某个方程能够被其他方程表示的问题，而得到的x是怎么表示的系数，还没有讨论向量代表的方程组的解。本质不同！
有了线性表示的定理，可是这个表示是否唯一呢？于是得到如下定理：
定理2：向量组A线性相关充要条件矩阵A的秩<m，线性无关的充要条件R(A)=m。
重大误区：在理解这里的矩阵时又有人以为就是第二章线性方程组系数矩阵的秩的讨论，这是重大的错误！原因如下：
第二章线性方程组的矩阵的秩直接表示方程系数，用来分析是否有解，解怎样表示的问题。这里的矩阵只是把向量很“没道理”的打乱其内部有序的数列，再利用矩阵的秩的运算达到的预期目而已。
说到这里，应该知道列向量组成的向量组是不允许行变换的！因此教科书中会先把向量转置后再行变换。
定理3：如果向量组A线性无关，而向量组A|b线性相关，则b能够有向量组A唯一的线性表示。
辨析：这里的定理3与定理1很像，但是有着本质的不同！定理1只是说了线性表示，但不一定是唯一的，因为向量组A里边还有多余的向量；定理3直接就说明了向量组A线性无关，因此可以唯一表示。
写了这么多字，看得眼都花了，让我简单分析一下这些无聊的数学家到底在干什么！
线性方程组--->向量--->线性组合、线性表示<--->矩阵的秩<--->向量组的秩
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|--->线性相关、线性无关<--->矩阵的秩<--->向量组的秩
看了一下局部知识链，我明白了，原来这些数学家在想办法利用秩的概念讨论线性关系找到多余的方程把它去掉，剩下的才是值得分析的方程组，原来在省纸。

第四章向量空间

知识链：线性方程组--->行列式---
>矩阵--->向量--->向量空间
提示：这里只是形成了完整的理论体系而以。
数学家们自豪的提出了向量组的概念，可是在众多的气势逼人的大理论面前，小小的向量还是很老土，看看人家的欧几里的空间，嘿！还空间呢！于是数学家一不做二不休，直接把向量升华到了向量空间。
这里